Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
148
А. Лихнерович
существует такой вектор Ь, определяемый посредством &—*&-(-+ а/ (где а — скаляр), что
F = IAb. (8.4)
Поскольку вектор I изотропен, то на основании (8.2) можно
заключить, что i(l)b = 0, и Ь есть пространственный вектор
в 3-плоскости Ш, касательной к элементарному конусу С вдоль I. Скаляр
e=-baba = Il b IP (8.5)
строго положителен.
При заданной F направление / вполне определено: вектор / определен с точностью до множителя I-+Xl (где К — скаляр). Действительно, если V есть другой изотропный вектор, удовлетворяющий (8.1), то из (8.4) следует /'= Я/+ и V изотропен тогда и только тогда, когда jut = 0. Отсюда видно, что скаляр е зависит только от F и от нормировки /.
б. Пусть V(I)i V(2) — два вектора, ортогональные к П*, причем ^1J= ^22) = - 1. Эти два вектора определяют пространственную 2-плоскость в П*. В этой 2-плоскости можно выбрать Ь таким образом, что
Ь = а,о(1) + а2om = Z auv(u) (и = 1, 2),
и уравнение (8.4) можно записать в виде
F-^au(IAvm), (8.6)
или в компонентах
^aP =|jaa QaV(u) р — ^pV(u) a) (ы = I > 2). (8.7)
Отсюда имеем
е = — baba = т, (аи)2. (8.8)
U
Эти сингулярные 2-формы играют фундаментальную роль в представлении электромагнитных волн.
9. Уравнения Максвелла и формальная задача Kouxu
а. Электромагнитное поле в отсутствие индукции описывается антисимметричным 2-тензором (или 2-формой) Fi который в общем случае предполагается относящимся к классу
(C0i кусочно С2) на Va- Специальная теория относительности
приводит к предположению, что электромагнитное поле удовлетворяет в IZ4 тензорной системе дифференциальных уравнений в частных производных, которая является не чем иным, как
5. Теорця относительности и математическая физика
149
переносом на искривленное пространство-время уравнений Максвелла. Эту систему можно записать в виде
dF = 0, (9.1)
б F = J, (9.2)
где J — вектор электрического тока, который описывает источники электромагнитного поля. В общем случае предполагается, что J кусочно-непрерывен. В областях, где J = O, имеем то, что называется внешним случаем. В дальнейшем будем полагать
D = bF, ? = 6(*F). (9.3)
Тогда уравнения Максвелла можно записать в виде
D = J, E = 0. (9.4)
Поскольку б2 = 0 на этих формах, DaE удовлетворяют законам сохранения
6/) = 0, 6?=0. (9.5)
Отсюда следует, что если J относится к классу С1, то из уравнений Максвелла можно получить соотношение
б/ = 0, (9.6)
которое называется уравнением сохранения электрического заряда.
Согласно специальной теории относительности, электромагнитному полю без индукции можно сопоставить тензор энергии-импульса, называемый тензором Максвелла и определяемый (в компонентах) соотношением
<9'7'
След этого тензора равен нулю:
T = ITapTap = о,
и из уравнений Максвелла следует
VaTg = ZpFpp. (9.8)
б. Напомним вначале элементарный анализ задачи Коши для уравнений Максвелла во внешнем случае. Эти уравнения имеют вид
Ax^-ZvVva = °> sT ^apveVpFve = O. (9.9)
Пусть 2 — локальная регулярная гиперповерхность в Vt, не касательная к элементарным конусам. В координатах {*/“}, адаптированных к 2, получаем g00 ф 0. В таком отображении
150
А. Лихнерович
система уравнений Максвелла Эквивалентна совокупности двух систем
Di = - gmd0F0i - g°%Fki + Gi = 0,
(910)
и
D0 = O, E0=O, (9.11)
где D0, E0, Gt, H1 — известные значения на 2, если известны на Б значения Fap (условия Коши).
Кроме того, если электромагнитное поле F удовлетворяет системе уравнений (9.10) и— только на 2 — уравнениям (9.11), то оно также удовлетворяет (9.11) и вне 2. Это следует непосредственно из уравнений сохранения (9.5).
Мы видим, что для условий Коши (Fafi)s, удовлетворяющих (9.11) на 2, система (9.10) дает на 2 значения всех трех производных д0Fjk и всех трех производных d0F0i. Отсюда следует, что для решения уравнений Максвелла первые производные от могут не быть разрывными при пересечении 2.
Ясно также, что характеристическими многообразиями рассматриваемой системы уравнений Максвелла являются гиперповерхности, касательные к элементарным конусам. В дальнейшем мы вернемся к этому результату, используя другой подход.
10. Уравнения Максвелла и вектор-потенциал
а. Введем понятие вектора-потенциала. Из уравнения dF = 0 следует, что F есть локально внешний дифференциал линейной формы; на связной области Q имеем
F Iq = da, или в отображении с областью Q
Л,ц = ^«1» —
Говорят, что а есть вектор-потенциал для F. Этот вектор-потенциал определяется с точностью до локального аддитивного дифференциала. Преобразование a ->a4~dS (где S — скаляр) называется преобразованием электромагнитной калибровки. Важно подчеркнуть тот факт, что в общем случае невозможно определить вектор-потенциал во всем пространстве-времени. Если бы мы могли определить глобальный вектор-потенциал для любого электромагнитного поля, то второе число Бетти Ь2(Уа) пространства-времени было бы равно нулю.
С каждым вектором-потенциалом а ассоциируется скаляр 8а. Говорят, что вектор-потенциал удовлетворяет условию Лоренца, если 8а = 0. Всегда можно добиться, чтобы это условие
