Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
[VaVpFva] = [VpVaFva] = [Vp/v] = 0,
и уравнение (11.11) дает [VotVpFva] =0. Тогда из (11.9) находим
P (I) SF = 211Vp SF + VpIp SF = 0. (11.12)
Поскольку б обладает свойством (3.10), уравнение (11.12)
эквивалентно уравнению
P (I) H4 = 2/pVpWap + VpIpH4 = 0. (11.13)
Если H равно нулю в точке х на 2, где 2 касательна к элементарному конусу вдоль /, то из (11.13) следует, что H равно нулю по всей длине изотропной геодезической, определяемой L Можно сформулировать
Предложение. Если электрический ток относится к классу С\ а тензор кривизны непрерывен в окрестности фронта 2 электромагнитной волны, то инфинитезимальный разрыв электромагнитного поля распространяется вдоль лучей, которые порождают 2 в соответствии с дифференциальным уравнением
P (I) SFap - 2/pVp SFap + VpI0 SFap = 0.
Это предложение выражает основное свойство лучей.
III. Уравнения Эйнштейна и теорема JIepe
12. Система уравнений Эйнштейна
а. Пусть д) есть пространство-время,, удовлетворяющее предположениям разд. 7. Первым этапом в построении релятивистской теории гравитации является выбор тензорной системы дифференциальных уравнений в частных производных, связывающих метрический тензор g с распределением энер-гии-импульса в пространстве-времени. Это распределение энер-гии-импульса является источником гравитационного поля. Эйнштейн пришел к этим уравнениям на основе рассуждений двоякого рода: с одной стороны, эти уравнения должны представлять собой обобщение уравнения Лапласа — Пуассона, которое локально связывает ньютоновский потенциал и плотность вещества; с другой стороны, они должны удовлетворять системе из четырех тождеств, называемых законами сохранения.
5. Теория относительности и математическая физика
155
(12.1)
где ShT — два симметричных 2-тензора, ах — физическая постоянная. Тензор T имеет чисто динамический смысл и феноменологически описывает распределение энергии-импульса в различных точках Va- Этот тензор энергии-импульса T есть обобщение второго члена в уравнении Пуассона. Он часто предполагается кусочно-непрерывным. В области, где T = O, имеем то, что называется внешним случаем.
Тензор S зависит только от структуры метрики g пространства-времени и удовлетворяет двум условиям:
1. Компоненты Sap тензора S зависят только от потенциалов и их производных первых двух порядков; они линейны относительно производных второго порядка.
2. Тензор S консервативен, т. е. удовлетворяет тождеству
С каждым симметричным 2-тензором h на Va ассоциируется симметричный 2-тензор jut (h), определяемый соотношением
Отображение ц инволютивно (ц2 = Id); тензоры h и ц(Н) называются ассоциированными друг с другом.
Тензор Эйнштейна есть по определению тензор jut ( Ri), ассоциированный с тензором Риччи Ri из (Vr4, д). Картан показал, что с точностью до некоторого аддитивного члена Xg тензор Эйнштейна может быть определен с помощью двух вышеупомянутых предположений. Определения на основе более общих предположений были даны позднее. Системой уравнений Эйнштейна является тогда система (12.1), где
(R — скалярная риманова кривизна).
б. Компоненты тензора кривизны в произвольном отображении имеют вид
где Г — коэффициенты псевдоримановой связности. Вводя символы Кристоффеля, получаем
6S = 0, или VaSp = O.
(12.2)
jx(h) = h — y(Tr h)g.
S=Ri-^tfg
(12.3)
Rl х* = Wft4 - + IftrlSl4 - ВДх, (12.4)
Rafr *41 = dK [Pu, <*] - ^ [Р*, <*] + Kafr Xii.
156
А. Лихнерович
где Kaft,Ku зависят только от потенциалов и их первых производных, причем они квадратичны относительно этих производных. Раскрывая первые два члена, получаем
Rafr Kuzzss 2 ~Ь дрцйТаА, ^anSftK дрА.б’ац) -f- Kafr Xja • (12.5)
Тензор Риччи определяется соотношением
Rа0 = Ra, ар = g^Rpa, ар*
С помощью (12.6) находим
“ *2“ O^apSpa “Ь ^paSap ^apSpa ^paSaft) “Ь (12.6)
где Kaft квадратичны относительно первых производных от потенциалов.
в. Определение характеристических многообразий системы уравнений Эйнштейна может быть осуществлено на основе известных фактов, относящихся к формальной задаче Коши. Пусть S — регулярная гиперповерхность, а {уа} — отображение, адаптированное к 2. Условия Коши тогда есть значения (на 2) потенциалов и их перекрестных частных производных Получаем следующие результаты:
1. Четыре компоненты тензора Эйнштейна S° на 2 зависят явно только от условий Коши и их тангенциальных производных.
2. Введем преобразование адаптированного отображения согласно формуле
уа' = у*+ SlQL {ф(а) (yl) + е(а) (J2J)
где е<“> равномерно сходится к 0 вместе CO своими производ-
ными при </° —> 0. Легко проверить, что значения координат в каждой точке х на 2, их значения в этой точке для условий Коши, а также значения вторых производных doo§и (i, j = I,
2, 3) инвариантны при этом преобразовании.
Можно, однако, путем выбора ф(а> придать произвольные значения четырем производным doogxo- Потенциалы gi/ называются существенными потенциалами для Б, а потенциалы gxо — несущественными. Выражение для тензора кривизны не может быть записано через производные doogio от несущественных потенциалов.
