Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим решение задачи Коши для системы уравнений Эйнштейна RaQ = 0, соответствующей условиям Fр = 0 на 2. Для этого решения можно построить .такое гармоническое отображение, что координаты каждой точки на 2 и условия Коши сохраняют те же значения. С этой целью рассмотрим систему уравнений
Д/р = 0, (17.6)
причем решение уравнений (17.6) соответствует условиям Коши на 2:
f = ap, <Э*/Р = 6&.
Теорема существования для (17.6) предполагает существование таких функций, которые дают возможность локально определять гармонические координаты. Очевидно, что, поскольку Fp = 0 на 2, условия Коши для исходной задачи сохраняют свои значения в гармоническом отображении {/р}. Таким образом, если F0 = 0 на 2, то любое решение задачи Коши, относящейся к = 0, может быть получено из единственного решения той же задачи для Raji = O при преобразовании координат, оставляющем инвариантными значения координат в точках 2 и условия Коши.
Таким образом, мы получили теоремы существования и единственности для локальной задачи Коши, относящейся к уравнениям-Эйнштейна во внешнем случае.
166
А. Лихнерович
18. Случай чистого вещества
Рассмотрим систему уравнений Эйнштейна, соответствующую случаю, когда имеются только источники из чистого вещества. Тогда тензор энергии-импульса можно написать в виде
TaP = TaeBp (г > 0),
где г — плотность вещества, иа — единичный вектор скорости; при этом динамические уравнения VaT^p=O эквивалентны системе, вытекающей из уравнения сохранения вещества
Va(n/a) = 0
и уравнений движения
UaVaU^ = 0,
определяющих линии тока — траектории Uat которые будут временными геодезическими.
а. Пусть S — пространственная гиперповерхность, {(/«} — отображение, адаптированное к 2; условия Коши определяются значениями потенциалов gap и их первых производных dogae-Как следствие получаем значения S0a. Поскольку
S0a = %ги\9
то из единичности Ua следует
(%ru°f = g^S°aS0.
Необходимо, чтобы правая часть была строго положительной. Если обозначить ее (Q0)2, то
Xru0 = Q09
и как следствие
Ua = S0J Q0, и0 = S00JQ0y Xr = (Q0)2JS00y
где S00 предполагается положительной.
б. Рассмотрим систему уравнений Эйнштейна для случая чистого вещества:
Rafi = V («аИр - Tfirap) (18.1)
при условии
gap«a«p= 1. (18.2)
Согласно рассмотрению, проведенному в разд. 14, введем систему уравнений
tf«e = Xr(u«M(S-7SaP)> (I8'3)
5. Теория относительности и математическая физика
167
причем
Va (гиа) = иадаг + г VaMa = O (18.4)
и
HaVaH^ = 0. (18.5)
Система уравнений (18.3) — (18.5) не является системой Лере.
Чтобы перейти к такой системе, подействуем оператором uy\v на (18 3). Получаем
MVVv { г (маир - 4 gj} = uvdyr («а«р - і гар)+rMVVv (uau&—j ?aj}),
где последний член равен нулю в соответствии с (18.5). Из
(18.4) имеем
“VVY { Г (“aufi - 7 Safi) } = - /-VvBV („аые - I ffap).
Можно заменить десять уравнений (18.3) следующими десятью уравнениями:
uvVafS = - ^vYuv - I Safi)’
т. е.
- 4 uYS^dvXllgaf) = - XZ-VyMY (наМр - Y gap) + MvZapv, (1 8.6)
где /ару зависит от потенциалов и их первых и вторых производных.
в. Рассмотрим систему уравнений (18.4) — (18.6) с 15 неизвестными gap, иау г, где иа—произвольный вектор. Это система JIepe. Матрица А есть диагональная матрица 15 X 15, элементы которой равны
a (6) = - і а (4) = a (5) = и«да. (18.7)
Эта система удовлетворяет нашим предположениям относительно производных при следующих индексах для неизвестных:
s(&aP) = 3, S(r)= I, S(M“) = 2
и для уравнений
,(6)=1, /(4)= I, t (5) = 2.
Действительно, а(6) имеет порядок 3— 1 + 1=3, a (4) = = a(5)—порядок 1. Для коэффициентов при операторах в правых частях мы даем таблицу, в которой для каждого неизвестного и уравнения приводится максимальный порядок производных, соответствующих выбранным индексам. Отрицательный порядок указывает на отсутствие неизвестного в соот-
168
А. Лихнерович
ветствующем уравнении. Имеем
Г?а„: 2. (Sai 2, 1,
(6) J г: 0, (4) і г: О, (5) Ь: -I, •
Ua: I, Ua: U Ua: О.
Эти максимумы согласуются с системой уравнений (18.4) — (18.6).
г. Предположим, что условия Коши определены следующим образом:
1) Квадратичная форма строго гиперболична, и 2
является пространственной в каждой точке для соответствующего элементарного конуса.
2) При у0 = 0 «а 2 имеет место равенство Fp = 0.
3) Соотношения Sa = %ruua определяют положительный скаляр г и единичный вектор иа на 2.
Если СІ есть элементарный полуконус будущего, то дуальным ему является полуконус rj, определяемый соотношением
0,
где ?(о)^0, если v^Ci. Оператору а(4) =а(5) соответст-вует в Tx такой «полуконус» Г*, что их?,х^0. Если их является временным для СІ, то пересечение г? П ГJ обладает не пустой внутренней частью, которая совпадает с внутренней частью Г^. Очевидно, что матрица А строго гиперболична и что Г? (Л) = Г?. Временные или пространственные направления для А есть временные или пространственные направления для пространства-времени.
