Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть V — оператор ковариантного дифференцирования, определяемый с помощью псевдоримановой связности, определенной посредством д. Обозначим через б оператор кодифференцирования по тензорам: если U есть (р + 1)-тензор, то бU является р-тензором, задаваемым в любом локальном отображении посредством
6: U - {(/„,... -»М/ = {- V0Ual ...
а. Пусть T есть р-тензор на Vn+u допускающий локально суммируемую ковариантную производную VT. Если Q является
5. Теорця относительности и математическая физика
139
областью отображения {ха} и если U e^+1(Q), то имеем (VT, U)= \ VpTal ...а//0а1"‘аЧ
vn+i
или после интегрирования по частям
(VT, U) = J Vp (га, ... - °р) Tl - J Га,... CtpVpfT1 “ °Ч
1Wi ^n+.
Первый член справа является интегралом от дивергенции вектора с компактным носителем и равен нулю согласно формуле Стокса. Отсюда следует, что
(VT, и)=(т, б и) (и <= (Q)).
Пусть U ^ ?Dp+l(Vn+1). Введем конечное покрытие (Qv) открытой окрестности носителя S(U) областями локальных отображений; пусть также {(pv} — соответствующее разложение единицы. Положим, что Uv = фVU, так что U = E^v* = EStZv-Имеем
<vr, Uv)-(Т, бUv) и после суммирования по v
(VT,U) = (T,6U) (U<=®p+1(Vn+,)). (2.1)
Таким образом, мы пришли к определению ковариантной производной р-тензорной обобщенной функции T как (р +1)-тензорной обобщенной функции \Т, определяемой соотношением (2.1).
б. Если и — скалярная обобщенная функция, то предыдущее определение дает Su = du, где du — обычный дифференциал скалярной обобщенной функции. Пусть T — векторная (1-тензорная) обобщенная функция. На области Q отображения выражение (2.1) можно записать в виде
Uafi> = - (Tfi, VatZafJ> (U є S>2 (Q)).
Пусть {rpY} — коэффициенты связности в нашем отображении. Тогда (да = д/дха)
VaUafi = daUaр + TSpfZpp + TtpUap
и как следствие
(Vah, Uaii) = -<7>, даиа* + r“ptzpfJ) - <гР) г?риар).
140
А. Лихнерович
Если фиксировать индекс |3, то из определения даТ$ следует
- <Гр, daUa* + PSpU*) = <<?„Гр, t/“3>, (2.2)
и мы получаем
(Va^p, ?/“Р) = <<Эа7р - Г&«Гр, Uafi).
Мы установили, что
Varp = ^P-Tgarp. (2.3)
Вообще, можно утверждать, что классические свойства кова-риантной производной в псевдоримановой связности, а также все соответствующие формулы справедливы для тензорных обобщенных функций. В частности, если T есть (р + ^-тензорная обобщенная функция, а U — обычный р-тензор, такой, что S(T) Г) S(U) является компактом, то
(бГ, U)= (T9 VU). (2.4)
5. Обобщенные функции У+, и б, соответствующие
гиперповерхности
Пусть 2 — регулярная гиперповерхность в Vn+\. Она может быть определена локально с помощью уравнения ф = 0 (где предполагается, что ср относится к классу С2); будем считать, что 2 является регулярной, т. е. что d<p(x) =^=O для каждого х е 2. Положим для краткости I = йф.
а. Ограничимся связной областью Q в Vn+u которая гиперповерхностью 2 разделяется на две области Q+ и Q" относящиеся соответственно к ф >0 и ф < 0. Пусть Кф, или, короче, Y+ (соответственно Кф, или К“) — такая функция на Q, которая равна 1 (соответственно 0) на Q+ и 0 (соответственно 1) на Q”. Эти функции определяют на Q скалярные обобщенные функции, обозначаемые по-прежнему Y+f Y~ в соответствии с формулами
(Y+,f) = \Y+h= Jfrl (/<=®°(Q)), (3.1)
а q+
(Y-,f)=\Y-fr\= J/т) (/є2)°( Q)). (3.2)
U Q-
Рассмотрим класс «-форм Лере, ассоциированных с q>, т. е /г-формы (о, удовлетворяющие соотношению
Л — А (» = / Д со. (3.3)
5. Творця относительности и математическая физика
141
Если со, о)' — две формы этого класса, то существует (п—1)-форма у, такая, что
(о' = (о + ^фАу. (3.4)
Обозначим посредством д?2+ и д?2~ ориентированные границы на S областей Q+ и Q” (причем д?2+=— dQ“). В соответствии с (3.4) интеграл
\ f® = — J f® (fs?)°(Q))
aQ” 3Q+
имеет строго определенное значение независимо от выбора со, удовлетворяющего (3.3). Таким образом, можно определить скалярную обобщенную функцию бф (или б — обобщенную функцию Дирака) на Q с помощью соотношения
<б, f> == /о = — 5 h (f<= ^0(Q)); (3.5)
за- aa+
б имеет своего носителя на Б.
б. Часто удобно вводить на Q локальное отображение {«/“}, которое адаптировано к 2, т. е. такое, что у0 = <р. В таком отображении I может иметь ковариантные компоненты /о=1, U = O (как и любой латинский индекс, /= 1, 2, ..., п).
Найдем векторные обобщенные функции, которые являются производными скалярных обобщенных функций Y+ и У". В адаптированном отображении
1I Iq =* VlTIdy0 Ady' А ... A dyn¦ (3.6)
Отсюда следует, что «-форма в Q
® = VTi- dt/> А ... Adyn (3.7)
удовлетворяет (3.3). Если U ей)1 (Q), то, согласно определению ковариантного дифференцирования, получаем
<vy+, U)*~(Y+, Ш).
Для адаптированного отображения {(/“} с областью Q отсюда следует
(VY+, U) = -(Y+, -±=г да (Ua Vlffl)) =
= — 5 да(uaVTil)dy Ady1 А ... A dyn.
Q+
142
А. Лихнерович
Согласно формуле Стокса, последний интеграл равен - \ U°^/\T\dyl А ... Adyn = - \ laUao>.
