Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
160
А. Лихнерович
решение системы уравнений (14.3), (14.4), соответствующее
условиям Коши, таким же, как для отображения {</“}:
Fp = 0 при г/0 = 0, (14.5)
5O = ^a ПРИ У°= 0- (14-6)
Мы доказали также, что
O0Fp = O при у0 = 0. (14.7)
Действительно, имеем
Si—sr+Ч-тйі. t
Из (14.6) следует, что на гиперповерхности S имеет место уравнение
^0o -IsIl=*%П-%г1=о. (14.8)
С другой стороны, согласно (13.4) и (14.5),
24 = Afa + Wpl 2L = g°<>00Fp.
Уравнение (14.8) дает B00O0Fa = O на 2; при g00 0 имеем
(14.7).
в. Для нашего решения уравнений (14.3), (14.4) имеют место равенства
(ч - T Ф)=Vi - VS11—XVJ.
и из (14.3) следует Однако
2Lb - = (OpFii + d/p) - g№°dfa,
и как следствие
дх (Щ - S^) - SxpOxpFvt + ^OiaFр - go%/0) + U11,
где Ull обозначает члены, линейные относительно OaFp. Отсюда следует, что (14.9) можно записать в виде
glpd\pFy. + A ^OaFfi = О, (14.10)
где А — регулярные функции потенциалов и их первых производных.
Очевидно, что Fp удовлетворяет гиперболической системе линейных уравнений (J4-10), для которой справедлива теорема единственности: если 2 — пространственная гиперповерхность, то единственным решением (14.10), соответствующим условиям
5. Теорця относительности и математическая физика
161
Fp = 0, doFp = O на 2, является нулевое решение. Таким образом, Fр = 0 вне 2, и для нашего решения координаты являются гармоническими. Отсюда следует, что это решение есть решение системы уравнений Эйнштейна (14.1).
Теорема, Любое решение уравнений (14.3), (14.4), которое удовлетворяет условиям F0==O и = %Т°а на любой пространственной гиперповерхности 2 (у0 = 0), есть решение соответствующей задачи Коши для системы уравнений Эйнштейнй.
Рассматриваемое отображение для этого решения является гармоническим.
Основным инструментом для доказательства теорем существования и единственности в математической физике на искривленном пространстве-времени является важная теорема Jlepe, относящаяся к локальной задаче Коши для одного класса систем дифференциальных уравнений. Начнем с необходимых определений и терминов.
а. Пусть Vn+1 — дифференцируемое многообразие класса
СЛ, где h достаточно велико. Если Q есть область Vn+u то а(х,д)—дифференциальный оператор, действующий на функции, определенные на Q, где и где д = {да} (а = 1,
2.....п) для отображения {ха} с областью Q. Обозначим по-
средством Tl пространство, котангенциальное в х к Vn+i.
Если m — порядок а, то введем полином а (х, ?) степени m относительно ? (где ? є Ttx), причем его главная часть h (х, %) определяется совокупностью однородных членов степени т. Обозначим посредством Vx(h) конус пространства Tx уравнения h(x,t,) =0. Этот конус рассматривается как проективная гиперповерхность. Оператор называется строго гиперболическим в х, если он удовлетворяет следующему предположению:
В пространстве Tl существуют такие элементы ?, что любые три линии, выходящие из X, и не проходящие через вершину, пересекают поверхность конуса Vx(A) в m вещественных и различных точках. При этом условии набор таких точек ? есть внутренняя область двух противоположных друг другу полу-конусов Г? (а) и Г* (а), границы которых принадлежат Vx (Л).
б. Рассмотрим теперь диагональную матрицу А(х,д), дифференцируемую достаточное число раз в точке Jtefl:
15. Строго гиперболические метрики
~ах(х, д)
0
А(х, а) =
(15.1)
0 ар (х, д) —
G Зак. 203
162
А. Литеровт
Элемент ах(х, д) (т=1, 2, ...»р) есть дифференциальный оператор порядка т(т). Матрица A (Xi д) называется строго гиперболической в точке ху если а являются строго гиперболическими в х и если выполняется следующее условие совместимости:
Два противоположных друг другу выпуклых полуконуса Г+ (Л) = П Г*+ (а%), г; (А) = П г; (аг)
X X
обладают не пустой внутренней областью.
в. Введем в пространстве Tx, касательном в точке х к Vn+u полуконус Ct (A)t дуальный Г t (А). Это есть совокупность векторов V из T Ху таких, что ?(0) ^ 0 для всех t (А). Аналогичным образом введем полуконус Cx (А), дуальный г* (Л), м положим Cx(A) = Ct (А) \] Сх (А). Траектория в Vn+\ называется временной для Ai если полукасательная в каждой точке х траектории принадлежит к Ct(A). Гиперповерхность 2 называется пространственной для Ai если подпространство, касательное в х к 2, является внешним по отношению к Cx(A).
Матрица A (Xi д) называется строго гиперболической на Q, если она является строго гиперболической в каждой точке Q и если удовлетворяется следующее условие:
Совокупность временных траекторий для А, соединяющих в Q две точки х и Xfi компактна или пуста в пространстве траекторий с компактно-открытой топологией.
Отсюда следует, что на Q совокупность соответствующих точек компактна или открыта.
Если А (х, д) строго гиперболична в Xi то можно показать, что существует связная область Q, содержащая такие Xi что A (Xi д) строго гиперболична на Q. Впоследствии мы будем выбирать именно такую область.
16. Системы Jlepe
а. Рассмотрим на дифференцируемом многообразии Vrt-H квазилинейную систему дифференциальных уравнений с неизвестными U = (и0) (а = 1, 2, ..., р) вида
