Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Из (3.5) получаем
(VY+, U) = (16, U) (U є SDx (Q)).
Тогда в соответствии CO смыслом обобщенных функций имеем
VY+ = I- б (3.8)
и аналогично
VY~ = - I - б. (3.9)
в. Исследуем векторную обобщенную функцию, которая является дифференциалом от б. Если V есть вектор в Q, то
</ (]/) V6, /> = <V6, fV) = (б, б (f V)), (f є 0° (Q)).
Предположим, что V касателен к гиперповерхностям ф =
= const (i(v) 1=0). В адаптированных координатах имеем F0 = O и
<* (F) V6, /> = J да (f Vа Vf?l) dyl А ... Adyn =
д& +
= \ di(fVWnr\)dy' А ... Adyn.
Согласно формуле Стокса, последний интеграл равен J dtdо (fV1 Vlgl) dtf> Adyx А ... A dyn,
Q+
где f обладает компактным носителем, причем путем интегрирования соответствующего члена по у1 можно убедиться, что каждый член этого интеграла равен нулю. Таким образом, для t(K)l=0 имеем і(V)VS = 0, т. е._в адаптированных координатах V <6 = 0. Если положить VoS = S', то легко видеть, что на Q имеет место такая скалярная обобщенная функция б', что
Vl = I-I'. (3.10)
4. Тензорные разрывы на гиперповерхности
а. Пусть T есть р-тензор на Q, т. е. тензор класса C0 на Q+ и Q-. Говорят, что T0 регулярно разрывен при пересечении 2, если при ф, стремящемся к нулю через положительные (соот-
5. Теория относительности и математическая физика
143
ветственно отрицательные) значения, T равномерно сходится к функции с тензорными значениями, определенными на S и обозначаемыми T+ или Т~.
Разрыв T есть тензор, определенный на 2, [Т] =T+- Г". Тензорные обобщенные функции Y~T и У~Т определяются на Q естественным образом.
Тензор Г —локально суммируемый тензор; если Td есть тензорная обобщенная функция, определяемая посредством T9 то в смысле обобщенных функций имеем
T° = Y+T + Y~T. (4.1)
Аналогично тензорные обобщенные функции 8Т+, 6Т~ могут быть определены с носителями на Б, и
б [Т] = It+-It".
б. Пусть теперь тензор TbQ есть р-тензор класса C1 на Q+H Q-, так что T и VT регулярно разрывны при пересечении
VT определяет следующую тензорную обобщенную функцию:
(VT)D = Y+VT -\-Y~VT. (4.2)
Определим тензор VTd — ковариантную производную от тензорной обобщенной функции Td, заданной посредством (4.1). Из наших определений и соотношения (3.8) можно сразу установить, что
V (Y+T) = 16<8)Т+ + Y+VT. (4.3)
Аналогично
V(Y~T) = 16®T- + Y'VT. (4.4)
Складывая, получаем, согласно (4.2),
VTd = 16® [Г] + (VT)D. (4.5)
В этой формуле VTd — тензорная обобщенная функция, которая является ковариантной производной — в смысле обобщенных функций — от тензорной обобщенной функции Td. Тензор (VT)D есть тензорная обобщенная функция, определяемая с помощью обычной ковариантной производной VT от тензора Т. Член /6(8)(7'] часто называют тензорной строкой, соответствующей тензорному разрыву [Г].
в. Рассмотрим ковариантную производную от тензорной обобщенной функции б [Г]. Сразу можно убедиться, что в адаптированных координатах
Vi (6 [7-]) = (V,6) ® [Г] + 6 • V, [7*1 = 6 • Vi [Г].
144
А. Лихнерович
Однако из равномерной сходимости следует, что V/[7"] = [ViT]. Таким образом, существует р-тензорная обобщенная функция ЬТ с носителем на 2, такая, что
б[УГ] = У(б[Г]) + /®67\ (4.6)
В частности, для скаляра, удовлетворяющего вышеуказанным предположениям относительно тензора Ti получаем
b[df]*=d(t>[f]) + lbf. (4.7)
б. Обобщение VTd
Определение VTd и формула (4.5) могут быть распространены на более общий случай, и это выражение оказывается полезным в теории гравитационных ударных волн.
Рассмотрим пример, когда k = 1 на Q+ и Q“, но не на Q¦; точнее, мы полагаем, что первые производные от компонент метрического тензора g регулярно разрывны при пересечении
2, т. е. что g является кусочно C1 относительно 2.
а. Пусть
® —(®э) —(Г hdx')
будет 1-формой связности, где Г — коэффициенты связности в отображении {*“} на Q. Совершенно ясно, что ю непрерывна на Q + и Q - и регулярно разрывна при пересечении 2.
Пусть T — такой вектор класса C1 на Q+ и О-, что T и VT регулярно разрывны при пересечении 2. Положим по определению
VT0^dT0 +Y+(<s>T) +Y'(®Т). (5.1)
Легко видеть, что таким образом определяются тензорные обобщенные функции на Q и что если со непрерывна при пересечении 2, то такое определение VTd совпадает с предыдущим определением (разд. 2). Соотношение (5.1) естественным образом может быть распространено на тензоры произвольного порядка, и определенный таким образом оператор V обладает обычными свойствами оператора ковариантного дифференцирования.
б. Предложение. Предположим, что g является кусочно C1 относительно 2. Если T есть тензор класса C1 на Q+ и Q“, такой, что T и VT регулярно разрывны, то соотношение (4.5) остается справедливым.
С целью упрощения изложим доказательство для случая, когда T есть вектор. Выберем некоторое отображение с об* ластью Q. Можно применить (4.6) к локальным скалярам,
5. Теория относительности и математическая физика
145
определенным на Q посредством различных компонент T. Отсюда получаем
