Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
*5 IaH pv. = IaH pY, л,1 + 1^Н уа> + IyH ар, хц = 0 (20.2)
/аЯ«э.*ц = 0. (20.3)
В этом случае говорят, что H сингулярна в х с фундаментальным вектором L Для каждой пары индексов (Я, jut) рассмотрим
2-форму в х:
П(Х(1) = ~2 ^ap, \[1 dxa Д dx$.
Согласно (20.2), (20.3), эти 2-формы сингулярны с фундамент тальным вектором /, по крайней мере один из которых не равен нулю. Отсюда следует, что I изотропен и определяется С ТОЧНОСТЬЮ I Я/.
Рассмотрим симметричный тензор
^ap === g^° Hар, ра.
Путем свертки из (20.2) получаем
1аН^а[1 = 1^Ну[1-1уН^. (20.4)
Из (20.3) и свойств симметрии H следует
IftH YH IyH Pm- =
т. е. Haft = kftla. Из СВОЙСТВ СИММетрИИ Iiaft СЛЄДУЄТ, ЧТО СуіЦЄ-ствует такой скаляр р, что
#ар = рЦ>. (20.5)
Наоборот, если двойная 2-форма H Ф 0 удовлетворяет соотношениям (20.2) и (20.5) для соответствующего вектора I ф 0, то из (20.4) следует, что (20.3) выполняется и H сингулярна в точке х\ в частности, I изотропен.
б. Введем такие же нормированные векторы 0(d, V(2) (ортогональные к /), как в разд. 8. Поскольку 2-формы U(Xvl) сингулярны, существуют координаты a(W)Xm,, причем
-^ap, = 2 Я(и) Xyi (la V(и) р Ift V(M) а) (и = 1, 2).
и
В соответствии со свойствами симметрии H при любом и величины {а(*г)л.|х} определяют сингулярную 2-форму, и для сингулярной двойной 2-формы получается выражение
Haftt яц = J] aU} v (la V р ^p V (и) a) V ^
-J14Vwx) (U9 V=U 2), (20.6)
172
А. Лихнерович
где CLuv = Clvu. Из (20.6) посредством свертки получаем
Яар = ¦— (яц + (I22)IJfr р = — (ап + а22). (20.7)
Введем симметричный тензор с:
Cah — 2 CLuv V(u) a.V(V)(20.8)
Ut V
Из (20.6) имеем
Hafr\\i = ?aA/f/|i “Ь ^pij/cA ^ам/fA ^р^/а^і = S ^ад/р/ц» (20.9)
где 2—соответствующая сумма четырех членов.
Легко доказывается следующая лемма:
Лемма. Если при заданном векторе I двойная 2-форма H выражается через I и симметричный тензор с согласно (20.9), то 2-тензор с определяется посредством Hulc точностью до преобразования
соХ -+ Са\ + AA + Va> (20.10)
где (ta) — произвольный вектор.
в. Тензор с, определенный посредством (20.8) и ассоциированный с сингулярной двойной 2-формой Ht удовлетворяет соотношению
Ca/ = 0. (20.11)
Согласно лемме, такой тензор определяется преобразованием
(20.10) при (ta), удовлетворяющих условию Ma = 0. Отсюда
следует, что скаляр е = са$са$ зависит только от сингулярной
двойной 2-формы Я и от выбора /. Из (20.8) получаем
е =Ziauv)2, (20.12)
причем е > 0 при H ф 0.
21. Условия удара
а. Рассмотрим гравитационную ударную волну. Фиксируем на Q допустимое отображение {*“}. Если (р, ц)—заданная пара индексов, то будем считать соответствующие коэффициен-ты связности определяющими на Q локальный вектор {Г^)}* Компоненты тензора кривизны можно записать на ?2+ или Q-в виде
Rt Лц = V)111?,*) — VliTfcw.
Вектор {Г(р,і)} определяет на Q локальную векторную обобщенную функцию (Г(рц))°* Введем тензорную обобщенную функ-
5. Теория относительности и математическая физика
173
цию кривизны Q посредством следующего определения:
Qp, хц — Vx (rfftx))0 — Vm (rfpX))D, (21.1)
где ковариантная производная определена согласно разд. 5. Из
(4.5) имеем
Vx (r<v>)° = «X [Г&*] + (Vxr(V))D.
Отсюда
Ql * =* 5 IhTlll - lM + (Rl JD,
и как следствие
Qap, Хц, = б [1\ [Ри*» aI » aH “I" (^ap, Х|х)^*
Предложение. Тензорная обобщенная функция кривизны Q задается формулой
Qap, X|i = б/^ap. Xja "Ь (^ap, Х|а)^> (21 *2)
где H — двойная 2-форма, определяемая на S посредством со-
отношения
(21 .з)
Из определения Q ясно, что H инвариантна относительно преобразования гравитационной калибровки (19.2). Кривизна Q зависит только от гиперповерхности 2 и от разрывов первых производных от потенциала; то же имеет место для тензорной обобщенной функции 6 Я: если I преобразуется в Xt, то ЬН инвариантна.
Обобщенная функция тензора Риччи, соответствующая Q, имеет вид
Qap= Stfafj + (V,
где
Яар = J (+ VP/« - bl«h - WpO (b=SeaIpeI (21-4)
Введем временно отображение {у“}, адаптированное к 2. Имеем h = 0, и из (21.3) следует
H ар, іі — 0, Hoit о/ = — у Ьц.
Очевидно, что это эквивалентно предположению H Ф О, или что производные от существенных потенциалов на 2 эффективно разрывны.
б. В дальнейшем будем полагать, что тензор энергии-импульса T непрерывен на каждой области Q+ или Q- и регу-
174
А. Лихнерович
лярно разрывен при пересечении 2. Пусть T' = ц (T). На Q+ или Q- уравнения Эйнштейна можно записать в виде
Rafi = XKfi' (21.5)
Если Т'° есть тензорная обобщенная функция, определяемая с помощью T', то мы принимаем в качестве уравнений Эйнштейна на Q — в слабом смысле — следующую систему уравнений:
«ч>=JcPv.,)0- (21-6)
Если ввести 2-тензор с компактным носителем на Q+ (соответственно Q-), то очевидно, что уравнения (21.6) совместны на Q+ (соответственно на Q~) с (21.5). Система уравнений (21.5) предполагает, что в смысле обобщенных функций на Q имеет место соотношение
