Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dE^ldd = 0, когда O2E^/дЧ > 0. (68)
Из (67) и (68) получим
dopt = [2(x + 2)/(x + 4)]s. (69)
Подставив (69) в (67), найдем минимальное значение среднеквадратичной аберрации:
?оmm = [(н + зИх + 5) ~UT4p] 4^* (70)
Минимум среднеквадратичной аберрации означает, что точіка наблюдения расположена в волновом фокусе. Из (69) и (65) найдем оптимальную дефокусировку, которую надо произвести, чтобы переместиться из параксиального фокуса в волновой:
Dopt - [(h + 2)/(h+4)](oS)- (71)
Оптимальная дефокусировка представляет расстояние между параксиальным и волновым фокусами:
A)Pt = A«-/,. (72)
Из формул (72), (71) и (66) получим соотношение, связывающее волновое /„, крайнее /к и параксиальное /п фокусные расстояния:
/»і= /. -[ Ы + 2)/(и + 4)] (/. - /к). (73)
При к = 0 /в = /п-(/п —/к)/2, а при и = -1/2 /в = /п — (3/7) (/п — /к). Это означает, что у сферического фронта волновой фокус лежит посередине между параксиальным и крайним фокусами, а у цилиндрического фронта — дальше от крайнего и ближе к параксиальному фокусу.
1.3.4.4. Комплексная функция распределения амплитуды
Y(©)^Y(©)h[<p(<d)], в которой 47(g)) и <p(<d)—соответственно функции
54 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ГГЛ. 1
распределения амплитуды и фазы на волновом фронте. Вычислим комплексную функцию {распределения для зрачка S сходящегося сферического волнового фронта S с глубиной А', показанного на рис. 1.1. Учитывая, что
(IZ = 2л/2 sin 0 rfO, US = 2яг dr, г = H tg Є
— координата, отсчитываемая от акустической оси в плоскости S, H — \ — h! — расстояние от фокуса до плоскости зрачка, при помощи формулы (9) сразу получим функцию распределения амплитуды
(G) = cos3/29 [ 1—(г/Я)2] -3/2«1 —3?V2. Распределение фазы
ф(0) = k(f — H COS-1G) «k(h' — ?r2),
где ? = 1/2Я. Приближенные равенства выполняются при г<Я. Комплексная функция распределения амплитуды по зрачку сходящегося волнового фронта имеет вид
^2(/-)=h[A(^-?r2)] (l-3?2r2). (74)
Введя (69) в (1.1.13), получим обобщенную формулу Рэлея:
2л а
Ф =?|гіф|вдЬ-^ г dr. (75)
Аналогично можно ввести функцию распределения в любое выражение для распределения потенциала, давления или скорости в фокальной области фокусирующей системы. Например, для поля на акустической оси сферического фронта cos ^ = cos 6 и
Ф ¦== - V0P J ? (6) h(~^} d (cos G). (76)
о
Введение функции распределения позволяет свести вычисление полей сходящихся волновых фронтов к интегрированию по части сферической поверхности
§ 1.3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ 55
(в осесимметричном случае) или дуге окружности (в цилиндрическом случае), независимо от формы излучающей поверхности и вида (распределения потенциала по ней. В этом состоит основное преимущество обобщенных формул Дебая. Однако для реализации изложенного метода расчета необходимо вычислить функцию распределения на сферической или цилиндрической поверхности, по которой производится интегрирование. В соответствии с принципом Гюйгенса форму поверхности интегрирования и ее положения в пространстве можно выбирать произвольно, что позволяет сделать выбор наиболее рационально с точки зрения простоты вычислений.
ГЛАВА 2
ПОЛЯ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
При исследовании полей сходящихся волновых фронтов основное внимание уделяют распределениям поля в главных направлениях — по акустической оси и в фокальной плоскости. Поскольку акустическая ось является осью центральной симметрии сферических фронтов, вычисление поля по этой оси существенно упрощается и удается найти точные выражения для интеграла Дебая.
Наиболее детальное исследование поля на акустической оси сферического фронта провел Тартаковский [16], используя формулу (1.1.11). Поле сходящегося сферического фронта было ранее исследовано О'Нейлем [30], который получил впервые точные выражения для распределения поля по акустической оси и объяснил асимметрию в распределении потенциала на этой оси, обнаруженную экспериментально Виллардом [31] и Тартаковским [32].
При вычислении полей длиннофокусных фокусирующих систем можно использовать формулы (1.1.17) для осесимметричного и (1.1.18) для цилиндрического волновых фронтов. При помощи первой из этих формул Штенцель детально исследовал поле плоского излучателя в бесконечном экране [15].
Ниже мы найдем при помощи обобщенной формулы Рэлея (1.3.75) общее выражение для потенциала на акустической оси плоского волнового фронта, ограниченного диафрагмой с круглым отверстием; из общей формулы, в частности, получим выражения для случаев
§ 2.1] ПОЛЕ НА АКУСТИЧЕСКОЙ ОСИ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ 57
однородного и неоднородного волновых фронтов. Для плоского фронта, ограниченного диафрагмой с квадратным отверстием, найдем распределение потенциала по акустической оси и определим расстояние до границы дальней зоны. Для сходящихся осесимметричных волновых фронтов приведем выражения для распределения поля по акустической оси, а также вычислим поле на оси сходящегося цилиндрического однородного волнового фронта.
Используя выведенные нами формулы, выражающие поле волновых фронтов во всей области через поле на акустической оси, найдем выражения для потенциалов в параксиальной области волновых фронтов, имеющих симметричное распределение амплитуды относительно акустической оси.
