Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где
<Ф (Q» = S-1 J <p-(Q) dS, <<р2 (Q)> = S-1 J ф2 (Q) d2,
(53)
Q — координаты точек на поверхности сравнения (или на излучающей поверхности) 2, <p(Q)—функция распределения фазы по поверхности 2 (фазовая аберрация). Величина E0 определена в том случае, «когда ф(У) достаточно мало, так что справедливо разложение экспоненты с точностью до квадратичных членов:
A[<p(Q)] »1 +kf(Q) - (1/2)?2(Q). (54)
Вычислим E0 для сходящегося волнового фронта, как это сделано в работе [28]. Пусть S — синфазно излучающая поверхность с равномерным распределением амплитуды; тогца квадрат модуля потенциала поля в удаленной точке M9 находящейся в направлении максимального излучения, с точностью до постоянного множителя, на основании (1.1.13) и (1.1.15), равен
\<b(M\ I2- Г Ь[-/?(MQ)I ,^, Ph[Zf(AIQ)I ^
где R(MQ)—расстояние от точ/ки наблюдения M до некоторой точки Q на поверхности 2. При R—*оо можно считать R(MQ) ж R0 и независимым от координат точки Q. Тогда | Ф0 (M) |2 22/#о(ч+1). Допустим, что на поверхности 2 имеет место фазовая аберрация <p(Q), тогда выражение для потенциала поля принимает вид
50
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА
[ГЛ 1
Используя разложение {54) при |<р|<2, получим Іф^)І2 = ^+ї)[і(і + ^--^)^х
x|(l-ftp-^)?.
Учитывая обозначения (53), представим предыдущее выражение в виде
і* wp-ipSirtt» -<*>Т+
Используя определение (52) и учитывая, что отношение квадратов модуля потенциала равно отношению интенсивностей, найдем
А2 = 7//0 = 1 - ?0, (55)
где Io — интенсивность в фокусе безаберрационного фронта. Число А2 в оптике называется числом Стреля.
При заданном отношении интенсивностей найдем допустимое значение среднеквадратичной фазовой аберрации:
E0^l- AK (56)
Из (52) и (53) получим выражение для среднеквадратичной фазовой аберрации, когда sin com « со,и, t = (w/(om)2:
1 Г 1 -12
?<*> = J ер* (/) dt"+1 - IJ ф (0 dt"+1 . (57)
1.3.4.2. Аппроксимация функций распределения фазы. Обычно фазовую аберрацию описывают полиномами четных степеней, поскольку распределение поля относительно акустической оси предполагается симметричным:
n—i \ ml
$ 1 3J ФРОНТЫ C HFPABHOMEPHbIM РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ 51
Нулевой член опускается, так как постоянная фаза не влияет на распределение поля; первый член, квадратичный по 0, описывает смещение волнового фронта в направлении акустической оси—дефокусировку; второй член, четвертой степени по о),— сферическую фазовую аберрацию четвертого порядка. Ограничиваясь этими членами, получим
ф(/) = a2t + arf2,
или
Ф (t) = k Д (t) = k (dt — st2), (59)
где d и 5 — введенные в оптике коэффициенты дефокусировки и сферической аберрации. При вычислении некоторых дифракционных интегралов удобным бывает представление
V(t)=pt(l-qt)9 (60)
в котором р = а2> q == —a Ja2, t — ((о/(от)2.
В оптике многолинзовые системы с малой апертурой исследуют с помощью переменных Зайделя [26], которые позволяют алгебраически складывать фазовые аберрации и вычислять таким образом необходимые коррекции. В широкоугольных акустических системах эту операцию осуществить не удается. Поэтому мы рассмотрим влияние аберраций высших порядков только для случая степенной функции
ф(0 =?'8/2> (61)
у которой / = (о/ют)2, ? — максимальная аберрация на .краю фронта (при /=1),5 = 0, 1, 2, 3, .... В гл. 5 мы рассмотрим связь между степенью неравномерности амплитуды in и порядком фазовой аберрации 5. Эта связь, обычно несущественная в оптике, играет решающую роль в звуковых фокусирующих системах.
1.3.4.3. Зависимость между среднеквадратичной и продольной аберрациями [28]. Среднеквадратичная фазовая аберрация характеризует результаты искажения волнового фронта с точки зрения теории дифракции, тогда как продольная аберрация — с точки зрения геометрической акустики.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [КЛ. 1
Продольная аберрация 6S(z) связана с волновой аберрацией а (со) формулой [29]
т
Рассмотрим случай, /когда дефокусировки нет и в формуле (59) d = 0. Тогда сферическая волновая аберрация равна A(t) =—st2. Подставив последнее выражение в (62), получим продольную лучевую аберрацию, выраженную через коэффициент сферической аберрации s:
oS = - 4scu2/u4. (63)
Рассмотрим теперь случай, когда 'имеется дефокусировка (аФО). Тогда волновая аберрация,согласно (59), равна A(z) = dt — st2. Подставив эту величину в (62), найдем
6S(/) .= D- (6S)J2, (64)
D = 2шЛ (6S)7n = 4(D-4S, (65)
где D — дефокусировка или продольная аберрация параксиальных лучей, получаемая из (62) при / = 0; (6S) т = 6S (0) — 6S(I) — максимальная продольная аберрация, равная расстоянию между параксиальным /п и крайним fK фокусами:
(6S)m = /n-fK. (66)
Подставив (59) в (57) и проинтегрировав, получим формулу, связывающую среднеквадратичную аберрацию ?,(он) с коэффициентами дефокусировки d и продольной лучевой аберрации s:
?Ьк) = #Ч>с4- пГ d*___—___Ь
л [К L)^ (х + 2)2(к + 3) (к + 2)(ч + 3)(к + 4) -г
+ (h+3^(h + 5)} (67>
§ u] фронты с неравномерным распределением 53
Определим условия, при которых среднеквадратичная аберрация минимальна, при помощи уравнения
