Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
і
<W(„) (0> = J Y00 (0 = S(x). (45)
Здесь S(X) — площадь, ограниченная функцией W(X)(O и осями координат. Из (13) получим среднеквадратичное значение
[1 П1/2
JyS0(OaO1J . (46)
Для функции распределения (38) при помощи формул (45) и (46) найдем
<Ч%(0> = = Г(« + 2)Г(ц + 1)/Г(« + ц + 2),
,(47)
«гІг(н)(0»=[Г(к+2)Г(21і+1)/Г(«+2(і+2)]^. (48) Из (47) следует, что площадь S00 и степень неравно-
46 ИНТГГРАЛЫШЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛИ ПОТЕНЦИАЛА ГГЛ І
мерности связаны между собой. Для сферического фронта, когда х = О,
H0 = S^-I, (49)
для цилиндрического фронта, когда х = —1/2, а ц = „ = 0, 1, 2, 3,
S00 = 2"л!/(2п +1)11. (50)
Из формул (43), (47) и (48) получим отношение
Хм = Г (ii + 1) [Г(х + 2)Г(х + 2ц + 2)]
Х[Г(х + ц + 2)]-ЧГ(2|і + I)]-"2. (51)
На рис. 1.5 показаны графики зависимостей от \х величин S(k), построенный по формуле (47), и величин jj(m), построенных по формуле (51). Стрелки указывают на графиках, как пользоваться шкалами на осях абсцисс и ординат.
1.3.4. Функция распределения фазы. Сходящиеся волновые фронты, имеющие правильную сферическую форму или форму прямого кругового цилиндра, трудно реализовать в действительности. Несовершенства фокусирующих устройств, связанные с неоднородностью материалов, неточностью изготовления, заменой оптимальных преобразующих поверхностей неоптимальными, но более легкими в изготовлении, и многие другие факторы приводят к тому, что сходящиеся волновые фронты отличаются от правильной сферической или цилиндрической формы. Это отличие называется аберрацией и описывается функцией распределения фазы ф((о) по поверхности сравнения 2.
Фазовые аберрации в звуковых фокусирующих системах играют, как правило, значительно меньшую роль, чем в оптических. Это связано с тем обстоятельством, что отношение линейных размеров фокусирующей системы к длине волны в акустике значительно меньше, чем в оптике. Поэтому даже при заметных отклонениях преобразующих поверхностей от оптимальных фазовая аберрация не оказывает столь существенного влияния на распределение поля в фокальной области, как это имеет место в оптике. Кроме того,
§ 1 3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
47
в устройствах со звуковыми фокусирующими системами предел разрешающей способности часто определяется не фазовой аберрацией при фокусировке, а свойствами других элементов системы, например, в ультразву-
-O? '0,2 О
0^tO
..... п/? <**)
...... п п
Ц2
-це
-0,2 О
Рис. 1.5.
ковом микроскопе — коэффициентом поглощения в среде, в звуковизоре — разрешающей способностью пьезоэлектрической пластины электронно-акустического преобразователя и т. п. Однако по мере совершенствования приборов со звуковыми фокусирующими устройствами учет фазовых аберраций становится все более необходимым.
Наиболее значительный вклад в теорию фазовых аберраций звуковых фокусирующих систем внес Тар-таковский [24, 102], который исследовал сферические аберрации звуковых линз и впервые установил преиму-
48 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ЇГЛ 1
щества ускоряющих звуковых линз с показателем преломления N < 1 переД замедляющими линзами с N>1. і
1.3.4.1. Волновая, фазовая и среднеквадратичная аберрации. Остановимся прежде всего на определении величин, относящихся к теории аберрации. Волновая аберрация — это геометрическое расстояние А = AB между поверхностями волнового фронта 2' и сравнения 2 в направлении на точку наблюдения (рис. 1.6). Естественно, что при изменении положения точки наблюдения волновые аберрации будут изменяться. Фазовая аберрация — это сдвиг фаз ср(сй)=М между поверхностями волнового фронта 2' и сравнения 2. Таким образом, фазовая аберрация — это функция распределения фазы по поверхности сравнения. Лучевая аберрация— это смещение луча, обусловленное фазовой аберрацией. Продольная лучевая аберрация— это смещение луча в направлении акустической оси: oS = OQ\ поперечная лучевая аберрация — это смещение луча в фокальной плоскости: 6Sу = = ОТ (рис. L6). Рис j 6 Порядок аберрации — это по-
рядок степенного ряда, в который разложена функция распределения фазы. В дальнейшем мы везде будем использовать только это определение порядка. В некоторых работах рассматривают разложение в степенной ряд функции, описывающей лучевую аберрацию. Поскольку фазовым аберрациям п-то порядка соответствуют лучевые аберрации (п+1)-го порядка, то в этих работах фазовой аберрации приписывают порядок, на единицу іменьший показателя степени, что неудобно. Для избежания недоразумений целесообразно в любом случае порядком аберрации называть величину показателя степени, добавляя при этом, о какой аберрации идет речь — фазовой или лучевой.
Рассмотрим среднеквадратичную фазовую аберрацию, которая позволяет учесть эффект снижения интенсивности в фокусе, обусловленный отклонениями CXO-
ff 1.3] ФРОНТЫ С HEPABHQMEPHbIM РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
49
дящегося волнового фронта от поверхности сравнения. По определению Марешаля [27], среднеквадратичная фазовая аберрация
?o = <92(Q)>-<cp(Q)>2, (52)
