Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2.Я ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА 65
р(н)(р> ?)/рОО(0, I) « 1 - (р/2*")Ч*>(&> ©п.), (5)
где х==0 и (х)=с в сферическом И X = —1/2 и (х) = ц в цилиндрическом случае.
Общие выводы о поведении поля излучателей В OK-ресиюсти акустической оси подтверждаются расчетами полей в частных случаях. Например, Зоммерфельд показал, что по закону (5) изменяется поле в окрестности фокуса сходящихся осесимметричных однородных волновых фронтов [3], причем из результатов его работы легко получить (T0 = (2/3) [1—COS Gm(I + COS 6m)/2]. Po-зенбсрг нашел, что формула (5) справедлива в фокальной плоскости осесимметричного сходящегося неоднородного фронта в пределах половины радиуса фокально-
Из формулы (3) работы [14] следует справедливость выражения (5) для поля в фокальной плоскости сходящеюся однородного цилиндрического фронта; в этом случае <Тца*1 — aw/20. Вильяме и Лабав установили справедливость формулы (5) для поля плоского излучателя радиуса а [35], у них ас « (?а/2?)2.
Используем теперь выражения (3) и (4) для вычисления полей в параксиальной области волновых фронтов.
2.2.3. Параксиальная область плоских волновых фронюв. Для диафрагмы с круглым отверстием радиуса а при помощи формул (2.1.3) и (3) сразу получим выражение для распределения потенциала во всей об-ЛЯ( і п.
*<р'0=* 2^20 (if* <- ы. с?)
Интересно отметить, что в этом представлении Ф зависит только от ?в = &гв, явная зависимость от Zo отсутствует. В квадратичном приближении по р получим
5 И. П. К і невский
а<*) = 1+<*Ух)(0, S)№У«'(О, с),
(6)
го пятна [34], причем
получим
66
ПОЛЯ ФРОНТОВ B ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. 2
выражение для параксиальной области
из которого следует, что при удалении от акустической оси амплитуда спадает по параболическому закону, причем скорость этого спада убывает при удалении от поверхности излучателя (с ростом ?).
Экспериментальное доказательство справедливости формулы (7) предприняли Вильяме и Лабав, которые сопоставили интенсивности поля, вычисленную при помощи (7) с точностью до р4 и измеренную на опыте [35].
2.2.4. Параксиальная область сходящихся волновых фронтов. Для однородного сферического фронта при помощи формул (2.1.8) и (3) найдем распределение потенциала во всей области:
ф(р, о - у |/.o2n|(:)(^Г"'-'
(9)
Для сферического фронта с косинус-распределением амплитуды из (2.1.15) и (3) получим
d \2*
V f h Є U cos Om-h(- Ц cos 9Q _ ЬЄ ?m)-h (-So) -
I C */?2
^У'Ч-Єт)^т~М?о)?о| (10)
где
Cm = kRm, I о = ?#0, C = *^0.
Сравнение формул (9) и (10) показывает, что при 1 и Qm < 1 поля в фокальной области сферических волновых фронтов с равномерным распределением и косинус-распределением амплитуды практически одинаковы.
Лабав [36] исследовал экспериментально распределения полей плоских и криволинейных излучателей,
§ 2.2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА 67
а Вильяме [33] показал, что экспериментальные результаты удовлетворительно согласуются 6 выражением для среднеквадратичного давления, вычисленным при помощи соотношения, следующего из формулы (9).
Рассмотрим поле параболического рефлектора, когда в направлении его акустической оси падает на рефлектор плоская волна. Поле такого рефлектора наиболее детально исследовал Гутин [37], который получил для распределения потенциала по оси рефлектора следующее выражение:
ф(С) =2^(-а/+ C)X
X{[Ci(fi)- Ci(Z2)] +*[Si(*i)- Si(Z2)]}, (11)
где Ci(Z) и Si(O- интегральные косинус и синус, *і=2?, I2 = 2? cos2(6m/2). При помощи формул (3) сразу найдем выражение для потенциала, справедливое в параксиальной области рефлектора:
Ф(р, С) »2oofh(-*/ +С) {[Ci(^1) -Ci(Z2)] +
+^Si(^)—Si(^2)]—f(p2/4e)[h(^)—h(/2)]>. (12)
Для бесконечного цилиндрического сходящегося однородного фронта с малым углом раскрытия из (2.1.18) и (4) получим выражение для распределения потенциала в параксиальной области:
Ф (ті, С)/ф (О, Q« 1 - (т)2/2) [ 1 - (о?/20)(1 + С««/20)].
(13)
Мы проиллюстрировали применение формул (3) и (4) для вычисления полей плоских волновых фронтов (длиннофокусных излучателей) и сходящихся волновых фронтов, у которых задано распределение потенциала на акустической оси. Формулы (3) — (6) пригодны для расчета полей любых волновых фронтов с симметричным распределением амплитуды относительно оси фронта, в том числе и расходящихся.
ПОЛЯ ФРОНТОВ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
[ГЛ. 2
§ 2.3. Представление поля осесимметричного излучателя в виде бесконечного набора волн
В работе [7] Кинг получил точное решение волнового уравнения, описывающее поле плоского волнового фронта, ограниченного диафрагмой с круглым отверстием. Решение Кинга имеет принципиальное значение, поскольку оно не содержит противоречивых предпосылок, как формулы Рзлея и Дебая (см. § 1.1), и в то же время из него следует выражение (2.1.3) для распределения поля на оси фронта, на контуре диафрагмы, а также выражение для импеданса плоского круглого излучателя в бесконечном экране. Все эти выражения получаются из формулы Рэлея [15]. Ввиду принципиальной важности решения Кинга остановимся кратко на его нахождении.
