Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где є = kz — волновая, a z — геометрическая толщина пластинки, k — волновое число в пластинке, aq = = (q + q~l)/2. Для плоско-криволинейных линз с толщиной на акустической оси L и уравнением преломляющей поверхности р = р (со) величина
є = kL + kf — kp (o) cos cd; (23)
у плоско-круговой линзы радиуса R9 расположенного под углом ? к акустической оси,
е = kl + kR -2 sin2 (?/2); (24)
у двоякокриволинейной линзы с фокусными расстояниями f\ и /2 и уравнениями поверхностей pi = pi ((d) и р2 = P2(cd) величина
8.=kL+k {U-U) +k [р1 ((d1) -р2 ((d2) ]; (25)
для клина с углом а, вершиной в начале координат (х, у) и гранью, направленной по оси х, значение
є = kx ig а. (26)
Из способа получения формулы (22) ясно, что она является довольно грубым приближением к реальной функции распределения амплитуды, учитывающей многократные отражения волн внутри линзы. Однако
36 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
формула (22) позволяет сделать принципиально важные выводы: 1) звуковые линзы, изготовленные из материалов с малым коэффициентом прохождения энергии, обладают фазовой аберрацией ср(#); 2) применение согласующих слоев*) для уменьшения отражения волн от поверхностей линзы приводит к снижению фазовой аберрации. На последнее обстоятельство, характерное для звуковых линз, следует обратить особое внимание. В оптике прозрачность линз настолько велика, что просветляющие слои, увеличивая поток света, не оказывают заметного влияния на аберрации. В акустике после прохождения через твердые тела переменной толщины плоская однородная волна оказывается модулированной по амплитуде и фазе, причем глубина этой модуляции определяется величиной aq: чем больше ад, тем глубже минимумы амплитуды, равные 1F31nIn = а~\, и резче изменение фазы вблизи значений є = ля, п=1, 2, 3, ... Модуль функции Ч'з назовем функцией модуляции амплитуды.
1.3.2.4. Функция распределения, учитывающая по-глощение волны. Вычислим теперь функцию распределения 4%, зависящую от коэффициентов поглощения волны в материале фокусирующей системы и в среде. Эта функция может играть большую роль в случае расчета полей линзовых фокусирующих систем, когда поглощение в материале линзы или в среде достаточно велико.
Пусть убывание амплитуды колебательной скорости волны происходит по экспоненциальному закону v(z) = = u(0)h(ryz), где и(0)—амплитуда скорости в точке с координатой Z = O9 v(z)—амплитуда скорости в точке с координатой z, 4 — коэффициент поглощения амплитуды. Предположим, что волна в среде с коэффициентом поглощения Yi проходит путь Li до преломляющей поверхности 2', а затем L2 от 2' до поверхности интегрирования 2 в среде с коэффициентом поглощения Y2. Тогда ^z = YiLi + 42^2- Поглощение в среде, связанное с прохождением волной пути от S до геометрического фокуса, не влияет на вид функции распределения, а лишь уменьшает масштабный множитель, о чем говорилось
*) Согласующие слои в оптике называются просветляющими.
$ 1.3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ 37
выше. Если уравнение преломляющей поверхности имеет вид р=р(ш), фокусное расстояние системы равно а расстояние от фокуса до поверхности S равно fz, то Li = / — р(со) cos©, L2 = р(ы) —fz. Тогда получим
^4(CD) =h{-tTl[f-p((D)COS(D]-tT2[p(0)-fs]}. (27)
В формуле (27) величины в квадратных скобках обычно одного порядка, поэтому в том случае, когда поглощение в материале линзы значительно больше, чем поглощение в среде (Yi^y2), можно пренебречь последним слагаемым. Этот случай реализуется, например, при работе плексигласовой линзы в воде на частоте 1 МГц, когда Yi — 0»25 см-1, a •J2 = 0,25 • 10~3 см"1. В том случае, когда поглощение в материале линзы значительно меньше, чем в среде (Yi<CY2)» можно пренебречь первым слагаемым. Этот случай может иметь место, например, при работе алюминиевой линзы в масле, на частоте 1 МГц, когда Yi = 0>6 • 10~3 см"1, ї2= (12-7-25) - Ю-3 см-1.
На круговой поверхности плоско-круговой линзы получим следующее распределение амплитуды после прохождения через линзу однородной плоской волны:
V4(P) =h[iYi-2i?sin2(?/2)], (28)
где Yi — коэффициент поглощения в материале линзы, а 2/?sin2(?/2)—геометрическая толщина линзы в направлениях, параллельных акустической оси. Функция (28) учитывает распределение амплитуды, обусловленное только поглощением волны в материале линзы.
1.3.3. Аппроксимация функций распределения амплитуды. Аналитические выражения функции распределения часто бывают настолько сложны, что вычисление интегральных выражений, описывающих поле, либо сопряжено со значительными трудностями, либо не возможно никакими методами, кроме численного интегрирования. Между тем графики функций распределения, как правило, чрезвычайно просты: это — плавно меняющиеся монотонные кривые, симметричные относительно начала координат. Поэтому естественной была попытка ряда исследователей ввести функции, аппрокси-
38 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
мирующие функции распределения на поверхности сравнения или излучателя. Например, Штенцель [15], Тартаковский [12, 21, 24] и Каневский [22] вводили функции распределения в формулы Рэлея и Дебая, аппроксимируя их полиномами таким образом, чтобы можно было вычислить дифракционные интегралы. При этом общие методы нахождения коэффициентов полиномов рассмотрены в монографии Крылова [23], а вычисления в частных случаях — в указанных выше работах.
