Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА З
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛ НОВЫ E ФРОНТЫ
В настоящей главе будут подробно исследованы ноля сходящихся волновых фронтов цилиндрической и сферической формы. При вычислении полей в фокальной области обычно пользуются различными методами в соответствии с поставленной задачей. Например, при определении формы и размеров окрестности фокуса в квадратичном приближении при р<С1 наиболее простой путь состоит в разложении подынтегральных функций в степенные ряды и почленном их интегрировании, а в случае вычисления полей во всей фокальной области — в представлении решения в виде быстро сходящихся рядов специальных функций. Если поле необходимо вычислить достаточно далеко от фокуса, когда р>1 (но р<&/), то решение следует представить в виде степенного ряда по р"1, применяя метод перевала. При решении конкретных задач бывают удобны простые выражения, пригодные только для фокальной плоскости, акустической оси или параксиальной области. Окончательные выражения существенно упрощаются также в том случае, когда поле вычисляется для волновых фронтов с определенными углами раскрытия, например с малыми, когда ют<1> большими, когда ют>я/2, или для полуцилиндрического
ИЛИ ПОЛусферИЧеСКОГО фрОНТОВ, КОГДа (Dm = я/2. В связи с этим ниже будут рассмотрены различные методы вычисления полей сходящихся волновых фронтов. Затем будут получены выражения для колебательной скорости и исследована структура поля в окрестности фокуса.
В результате обобщения многих исследований будут получены выражения для распределения полей в фокальной области в главных направлениях, пригодные как для
74
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ГГЛ. 3
осесимметричных, так и для цилиндрических сходящихся волновых фронтов. Обобщенные выражения дадут возможность установить связь между распределением поля на волновом фронте и в фокальной области, что позволит проводить исследования волновых фронтов с (от<1 и от=я/2 без привлечения интегральных выражений.
§ 3.1. Цилиндрический фронт
Систематические исследования цилиндрических волновых фронтов были начаты Розенбергом [13] в связи с развитием ультразвуковой техники и технологии и продолжены им же и Каневским [5, 14]. В работе [13] впервые были получены выражения для коэффициентов усиления, а в работе [5] —детально исследовано поле однородного фронта в фокальной области. Ниже будут исследованы поля сходящихся цилиндрических фронтов, причем многие из приведенных результатов публикуются впервые.
3.1.1. Представление поля с помощью рядов. Вычислим поле однородного сходящегося цилиндрического фронта, представив его в виде степенного ряда. Для этого в формуле Дебая (1.2.10) учтем, что cos (а—ао) = = cos а cos ао + sin а sin ао, введем обозначения ? = = р cos ао, л = р sin ао, р = ?г0 и представим подынтегральную функцию в виде произведения двух степенных рядов. Учитывая, что все члены с нечетными показателями степени 5, содержащие sinea, при интегрировании обращаются в нули, получим следующее выражение для звукового давления:
w n-=0 8=0 ' g=0 V
где pf = р0Кро h (— (Гц) — звуковое давление в фокусе, ац = kf — я/4. Если ограничиться при ? < 1 и r\ < 1 только линейными и квадратичными членами ряда, то получим выражение для распределения звукового
* 3.1]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
75
давления в окрестности фокуса:
A - I + is, Wt- P - [^^\ V.
' (1)
Теперь вычислим поле однородного сходящегося цилиндрического фронта, используя интеграл Макдональ-да. Воспользуемся формулой (1.2.3). Основная трудность вычисления интеграла в этом выражении состоит в том, что величина R представлена радикалом (1.1.4), в связи с чем приходится, как правило, производить приближенные вычисления, разлагая радикал в ряд или используя теоремы сложения и асимптотические представления подынтегральных функций. Поскольку в интегральном представлении функции Макдональда переменная в квадрате, мы сможем получить точное значение интеграла (1.2.3). Действительно, учитывая связь імежду функциями Ханкеля и Макдональда, получим выражение для потенциала, в котором радикал отсутствует:
оо
о — ат
Подставим в это выражение значение R из (1.1.4) и введем обозначение Ъ i= kf, тогда
ФдК, P) =
оо ат
О о
Внутренний интеграл легко вычисляется методом разложения в ряд:
ат
J h[ipbcos(a — «0)]?- =
—am
00
= 2am 2 ел/п (- Sn (orm) cos na0,
n=0 \ I
где 8„ = 2 при n = 0, e„ = 1 при n Ф О, /«(я)- моди-
76
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
фицированная функция Бесселя. Подставляя последнее выражение в предыдущее, получим окончательное выражение для потенциала:
OO
Фц((>. «o) 'V«m 2 RnSn (am) cos«a0X «= и
Х (р) Jn (Ь) при р>&.
Это выражение, найденное из формулы Грина, справедливо как при г0</, так и при г0>/, тогда как формула Дебая (1.2.10) справедлива только при r0 <с Общими ограничивающими условиями для формул Дебая (1.2.10) и (2) являются требования малости длины волны по сравнению с радиусом кривизны фронта (X 4Cf) и малости углов между нормалями и направлениями на точку
наблюдения: cos (п, R) ж 0. Используя асимптотику функции Ханкеля при Ь» 1, из формулы (2) для случая р < b получим
