Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1.3.3.1. Условия аппроксимации. При аппроксимации функций распределения обычно исходят из того положения, что чем выше требуемая точность приближения, тем ближе должна быть аппроксимирующая функция к аппроксимируемой и-тем большее число членов полинома у аппроксимирующей функции. Однако анализ результатов аппроксимации позволил нам заключить, что, во-первых, в ряде случаев кривые распределения потенциала отличаются друг от друга незначительно, несмотря на существенные различия между соответственными им функциями распределения амплитуды; во-вторых, при вычислении полей, коэффициентов усиления, факторов фокусирования и т. п. в аппроксимирующей функции, каїк правило, используют не более трех членов— нулевого, первого и второго. Поэтому .мы поставили следующие задачи: 1) выяснить условия, которым должны удовлетворять функции распределения амплитуды, чтобы распределения полей в фокальной области были близки; 2) выбрать достаточно простую аппроксимирующую функцию (с минимальным количеством членов и параметров), которая позволила бы легко производить интегрирование выражений для потенциала. Для этого докажем следующее утверждение.
Если в интеграле Ф= j V ((d) F(со) du> функция
W (о) 0, а функция F (со) непрерывна при 0 ^ (о ^ (dm и |jF((d)|^1, то при замене функции W((o) функцией Чг*((о)^0 абсолютная ошибка в значении Ф не превосходит разности площадей S и S*, ограниченных осями КООрДИНаТ И СООТВеТСТВеННО КрИВЫМИ W(Cx)) и
о
W*(a>).
§ 1 3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
39
Доказательство разобьем на три этапа.
1-й этап. Пусть всюду в интервале 0 ^ ю ^ а>т функция 1P > 1F* или 1F ^ Y*. Тогда, вычисляя разность
ф-ф*= f (со)-?*(co)]F(со)dco, о
применяя обобщенную теорему о среднем значении интеграла
ф _ Ф* = F (ш) f ((d)-T* (со)] d(d, 0<w<com,
о
и учитывая, что
і T(u))^d = S, J T*(cd)d(d = S*, |F((d)|< 1,
сразу получим
1Ф-Ф*| ^ |F(S)|-|S-S*| < |S-S*|.
2-й этап. Пусть Y(ю) ^ 4я*((d) при 0 < о) ^ (d0,
V ((d) < 4F* ((d) при (d0<<O<(dw, Т(0о) = V*(o)o),
причем 0 < (d0 < <um. Тогда разобьем интервал [0, сот] на два интервала [О, (d0] и [(d0, ю»], в каждом из которых разность 4F(o)) — (со) не меняет знака и потому применим результат первого этапа:
J ф — ф* I ^ f .S1 — АГ! При 0<(d<(d0, І Ф — Ф* К I S2 — Sl I ПрИ (d0 < (d < com,
где
S1= [1P (й>) d(d, S1* = \ 1F* (o))dcd,
'о • о
S2= j Ч'Игіш, Sz = J ?'((0)^(0.
(D0 a>o
40 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
Очевидно, ічто
I Ф - Ф* I < IS1 -
3-й этап. Пусть в интервале [0, сош] разность 1F (со)—1F* (со) изменяет знак п раз. Тогда, применяя последовательно результат 2-го этапа, получим
Доказанное положение непосредственно применимо к дифракционным интегралам (1.2.10) и (1.2.11), поскольку входящие в них функции удовлетворяют тем же условиям, что и функции У7 (со).
Для практических приложений более удобна запись относительных значений:
где Фщах — значение потенциала в фокусе, Smar — площадь при единичной функции распределения амплитуды, когда Ч? (со) = 1. Следует подчеркнуть, что именно относительные отклонения амплитуды потенциала свидетельствуют о близости кривых распределения потенциала. Действительно, при малых Ф, особенно вблизи нулей, абсолютные значения могут отличаться весьма значительно даже для близких кривых, тогда как относительные значения будут малы.
Рассматривая аппроксимацию функции распределения амплитуды по сходящемуся волновому фронту, удобно использовать понятие близости кривых, введенное в вариационном исчислении: кривые, описываемые функциями XY (х) и xY*(x), определенными в интервале a ^ X ^ ft, называются близкими в смысле п-го порядка, если разности модулей функций и разности модулей всех производных до п-н не превосходят наперед заданного положительного числа б, т. е.
1^ — 4f*|<6, — ЧГ*'|<6, |Y(n)— Ч'*(,,)|<6.
|Ф-Ф*|/|Фшах| <|S-S*|/|Smax|,
(29)
(ЗО)
Отсюда следует, что кривые близки в смысле нулевого
§ 1.3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
41
порядка, если
I1F(a:)— ЧГ * (х)\ < б.
(31)
Расширяя определение (30), назовем кривые, описываемые функциями W и W*, близкими в смысле (—1)-го порядка, если
так как в нашем случае а = 0, 6=1. При таком расширении понятия близости кривых условия (30) необходимо дополнить выражением (32). Это возможно сделать, поскольку (32) вытекает из (31).
Теперь правила аппроксимации функций распределения іможно сформулировать следующим образом: потенциалы Ф и Ф* будут близки, если кривые, определяемые функциями распределения амплитуды W и W*, близки в смысле (—1)-го порядка; если WhW* близки в смысле нулевого порядка, то потенциалы Ф и Ф* будут близки. Последнее утверждение очевидно.
Полученные результаты позволяют существенно изменить подход к аппроксимации функций распределения полиномами: для получения минимальной погрешности достаточно коэффициенты аппроксимирующего полинома выбрать таким образом, чтобы полином и функция распределения были близки в смысле (—1)-го порядка. Такая аппроксимация значительно проще, чем обычно принятая аппроксимация в смысле 1-го порядка, и требует меньшего количества подбираемых коэффициентов.
