Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Это правило аппроксимации позволяет объяснить результаты численных расчетов работы [21]. На рис. 1.4 показаны графики функций распределения амплитуды на сходящемся сферическом фронте (а) и соответственные им графики функции распределения потенциала (б) в фокальной плоскости этого фронта, вычисленные в работе [21]. Наши расчеты показывают, что если для нулевой кривой на рис. 1.4, а принять So=I, то для других, соответственно, получим Si = 0,97; S2 = 0,92; S3 = 0,90; S4 = 0,85. Согласно (29) максимальное раз-
1
(32)
о
о
42 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ 1
<P/9f
v=kr0sin<xm
5
Рис 1 4
распределения потенциала будут для указанных функций распределения амплитуды незначительно отличаться друг от друга. Графики на рис. 1.4,6 подтверждают этот вывод, который справедлив не только для фокальной плоскости, но для любого другого направления в фокальной обласіи
Правило аппроксимации позволяет уточнить один важный результат работы [21], в которой на основании численных расчетов отмечается, что «форма распределения амплитуды в фокальной плоскости определяется главным образом соотношением амплитуд на краю и в центре волнового пучка и мало зависит от промежуточных значений амплитуды». Этот интересный и практически полезный вывод является прямым следствием
личие между ординатами кривых 0 и 4 на рис. 1.4,6 не должно превосходить 0,15. При V a 5,5 получаем максимальное отклонение J Ф0 — ФЦ/Фщ?* = 0,08. Естественно, что для других кривых это отношение еще меньше. Таким образом, можно сразу заключить, что кривые
$ 1.3J ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
43
формулы (29), однако из той же формулы видно, что он справедлив только для монотонных функций распределения амплитуды. Например, из равенства монотонной и немонотонной функций распределения в центре и на краю фронта нельзя заключить о близости значений соответственных им потенциалов.
Теперь мы можем указать свойства функции, с помощью которой удобно аппроксимировать функцию распределения амплитуды по волновому фронту. Функция распределения амплитуды "1F (со) обычно нормирована таким образом, что на оси фронта равна единице. Так же нормируем и аппроксимирующую функцию. Тогда
W(O) = W*(0) = 1. (33)
Из формулы (32) следует, что наилучшая аппроксимация получается при б = 0, когда
J* W(co)dco = j W*((o)dco. (34)
b о
Формулы (33) и (34) назовем условиями аппроксимации функций распределения.
1.3.3.2. Аппроксимирующие функции. Остановимся на выборе конкретных аппроксимирующих функций. Как уже указывалось выше, большинство исследователей применяли аппроксимацию полиномами вида
4*(t)=2antn, (35)
п=0
в которых t — физическая или нормированная координата. Более удобной является функция
V(O= І(і-?пОГп. (36)
которая удовлетворяет условию аппроксимации (33), причем на практике обычно N ^ 2. При N = 1 из (36) получим
y*(t) = (\—qty. (37)
44 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА 1ГЛ. 1
Выбором значений q и г в интервалах 0^<7^1, — 1 < г < оо можно достаточно хорошо аппроксимировать большинство встречающихся на практике функций распределения амплитуды. Величину г назовем степенью неравномерности распределения амплитуды по волновому фронту. Величина 4f*(l)i=(l — q)T дает значение амплитуды на краю волнового фронта, при <o = <om. Если 4я* (1) =0, то q=l. Тогда из (37) получим аппроксимирующую функцию для волновых фронтов с нулевой амплитудой на ікраю:
4?*(t) =-(1 (38)
Здесь и в дальнейшем степень неравномерности амплитуды для аппроксимирующих функций, обращающихся в нуль на краю волнового фронта, мы будем обозначать через |х.
Функция (38) имеет наибольшее значение, поскольку она позволяет вычислять точно дифракционные интегралы, что будет показано в гл. 3. В то же время функция (38), несмотря на свою простоту, позволяет аппроксимировать в смысле приближения (—1)-го порядка подавляющее большинство встречающихся на практике распределений. Это достигается специальным выбором величины \х.
Остановимся на некоторых видах аппроксимирующих функций, которые понадобятся нам в дальнейшем. Функция
S AnRn (39)
удобна для вычисления полей на оси осесимметричных излучателей, как фокусирующих, так и плоских. Функция
W*(g)) = cos* g) (40)
при разных значениях п позволяет аппроксимировать большой набор функций распределения.
Иногда удачно [в смысле выполнения условий (33) и (34)] аппроксимацию удается произвести простой заменой функций, которые близки в рассматриваемом
§ 1.3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ 45
интервале. Например, если W (о>) = cos (со/2), то при
О < g) ^ 1
W*(co) = ch(со/2) « cos (со/2). (41)
7.3.3.3. Характеристики волнового фронта. Характеристиками сходящегося волнового фронта являются функция распределения амплитуды W(Co), ее среднеквадратичное значение на волновом фронте (13), среднее значение
0^((0)) = 2""1 J^HdS (42)
2
и отношение среднего значения к среднеквадратичному:
X = <^(о>)>«^((о)»Ч (43)
Введя переменную
t = sin2((o/2n)/sin2(g)m/2n), (44)
в которой п = 0 для фокальной плоскости и п = 1 для акустической оси, из (42) получим
