Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
¦js- -(2OC1n)-1 J h[pcos(a-a0)]dcc, (10)
Ц —«m
^ = 2-1 sin"2X
PfC *
X J J0 (p sin B0 sin 6) h (p cos O0 cos 6) sin 6 dB. (11) о
Здесь
Р/ц = РоУкЩл2атh (- ац), (! 2)
Pfc = p02kfsin* (QJ2) h (- (Tc),
<тц = ?/-я/4, o0 = kf — n/2 (13)
— звуковые давления и фазы в фокусах соответственно цилиндрического и сферического фронтов.
Модуль отношения звукового давления в фокусе к звуковому давлению на поверхности однородного
22 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
сходящегося волнового фронта называется коэффициентом усиления этого фронта по давлению. В соответствии с этим определением из формул (10) — (13) при р = 0 получим
K(;^/№2aw, Kf 2/e/sin2(9w/2). (14)
Дебай получил формулу (10) в предположении, что высота фронта 2Ь бесконечно велика. Пользуясь методом Дебая, легко получить интегральное выражение для потенциала скорости, в котором учитывается конечная
протя женность цилиндрического волнового фронта. В этом случае задача становится трехмерной и необходимо применить формулу (1.1.13). На рис. 1.2 по-казан сходящийся волновой фронт высоты 2Ь и плоскость yzf перпендикулярная оси X и проходящая через середину фронта. Для упрощения вычислений рассмотрим распределение потенциала только в фокальной области, лежащей в этой плоскости. Расстояние T^1 от точки наблюдения до (Поверхности S волнового фронта легко вычислить из рис. 1.2: Ri = /[sec29 + ?2— —2? cos (a — ao)lv\ причем ? = r0/f. Элемент поверхности d2 = Ї2 sec20 rfO da. В горизонтальной плоскости интегрирование необходимо вести в пределах от — ат до + am, а в вертикальной плоскости — от - 0т до + 9т. Тогда
фц(рэа) = --й? J sec2 9 d0 J h(- ItR1) RT'da. (15)
Пренебрегая изменением амплитуды на малых расстояниях от оси фронта, положим RT1« (/ sec О)""1 и,
Рис. 1.2.
§ 1.3]
ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
(16)
Выражение (16) аналогично формуле (6), но отличается от последней тем, что позволяет учесть конечную высоту волнового цилиндрического фронта 2b = 2/ tg 0т.
§ 1.3. Фронты с неравномерным распределением амплитуды и фазы
1.3.1. Функция распределения амплитуды и ее свойства. При вычислении полей методом Рэлея или Дебая, когда интегрирование производится соответственно по плоакой или криволинейной поверхности, предполагается, что амплитуда и фаза по поверхности интегрирования распределены равномерно. В реальных фокусирующих системах в процессе трансформации волновых фронтов происходит перераспределение энергии по фронту и возникает неравномерное распределение амплитуды. Кроме того, в трансформированном волновом фронте могут наблюдаться фазовые сдвиги относительно поверхности сравнения — фазовые аберрации. Неравномерность распределения амплитуды и фазы по поверхности сравнения учитывается с помощью функций распределения. Функция распределения амплитуды по поверхности плоского излучателя вводил Штенцель [15]. Розенберг впервые ввел функцию распределения амплитуды в формулу Дебая при исследовании поля параболического рефлектора [10] и наложил на скорость ее изменения ограничения, исследованные впоследствии Тартаковским [16]. Мы покажем, что на поверхности интегрирования (поверхности излучателя, поверхности сравнения) функция распределения амплитуды должна удовлетворять лишь самым общим требованиям, таким, как абсолютная интегрируемость;
24
,ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА
[ГЛ. 1
скорость изменения самой функции может быть произвольной.
Дадим определение функции распределения амплитуды на поверхности волнового фронта. Выберем на поверхности интегрирования 2 какую-либо точку M01 в которой амплитуда измеряемой величины А (потенциала звукового давления, колебательной скорости, интенсивности) равна A(Mo)=A0, и введем относительное значение этой величины AJA0 на поверхности 2. Тогда величина
WA(M) = A (M) /A0
называется функцией распределения амплитуды измеряемой величины на поверхности 2. Из определения ясно, что функция Wa(M) описывает относительное изменение амплитуды на заданной поверхности по отношению к некоторой наперед выбранной фиксированной точке, причем Wa(M) безразмерна. Величина A0 может быть выбрана произвольно, этот выбор определяется простотой вычислений. Например, при описании распределения потенциала на плоской поверхности в качестве A0 можно выбрать его максимальное или минимальное значение. В некоторых случаях в качестве A0 удобно выбрать значение потенциала в начале координат. При исследовании полей фокусирующих систем, обладающих осевой или центральной симметрией, в качестве A0 выбирают значение потенциала в центре (на оси симметрии) фронта.
Для фокусирующей системы, у которой распределение поля симметрично относительно акустической оси,
Ч>А((*) =А(<0)/A0. (1)
1.3.1.1. Условия тождественности. Для одной и той же излучающей поверхности функции распределения колебательной скорости и звукового давления, вообще говоря, могут быть различными, однако существуют условия, при которых они совпадают. Эта условия мы назовем условиями тождественности функций распределения: если f — радиус поверхности сравнения, то при kf^>l функции распределения колебательной скорости и звукового давления совпадают между собой и рав-
