Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Убедитесь, что характеристическая функция G (k. t) распределения Pi (у- і) марковского процесса является величиной типа (5.9.7). Упражнение. Выведите (5.9.8; способом, аналогичным тому, которым выводилось основное кинетическое уравнение в § 5.1. Начните вывод с уравнения Чепмена — Колмогорова (4.2.1). Упражнение. Для марковски* процессов, которые не являются стационарными или однородными, имеются прямое, или основное, кинетическое уравнение и обращенное
уравнение
дР. і . (у- і I уо, '¦.,) Г
—LU—---^ I Wf (у \y')PlU (y'. / ! CfV U) dy': (5.9.11а)
дРі , (У, і I Vn- 'о) ,* ---Li* —:---s я , j y't /;() w/o (у- I Уо) Ay', (5.9.116)
о I „ , . ¦
где W; (у j у') — зависящая от времени вероятность перехода. Упражнение. Из (5.9.2) следует, что наибольшее из qn убывает, а наименьшее возрастает. Покажите, что (для конечного числа состояний) qn (t) стремится к постоянному значению, которое не зависит от п. Потом с помощью (5.9.G) распространите этот результат на pn(t) и таким способом заново выведите результаты § 5.3.
133- ГЛАВА 6 ОДНОШАГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Одношаговые процессы (или процессы рождения — гибели) являются специальным классом марковских процессов, они широко распространены и могут быть детально проанализированы.
6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ; ПРОЦЕСС ПУАССОНА
Многие стохастические процессы относятся к специальному типу, называемому процессами рождения — гибели или процессами генерации— рекомбинации. Мы будем применять более свободный термин одношаговые процессы Процессы тзкого типа определены как марковские процессы с ке ^ривкым вр - ^нем. множество возможных значений которых сосгииг ;.'лк < чисел п, а матрица перехода W допускает только пері ve:f соседними участками:
Wmr — г„.6„. „,_! -г. ' , і л фп'). (6.1.1)
Диагональные элементы матрицы г.іреходл имеют вид W„„ ---=— (г„ -г gn). а основное кинетическое уравнение записывают в виде
Pn^rt + tPs-l+Sn-lPn-l—i'» TgJpn- (6.1.2)
Коэффициент гп представляет собой вероятность того, что за единичное время произойдет переход из состояния п в п — І, в то
гп Гп*1 гп+2
Рис. II. Одношаговый процесс и вероятности перехода
время как gn — вероятность перехода за то же время в состояние П-І- 1 (рис. 11) *.
Одношаговые процессы имеют место тогда, когда стохастический процесс связан с поглощением и испусканием фотонов или частиц, с переходами в возбужденное состояние и обратно в атомах или ядрах или с переходами электронов в полупроводниках, с рождением или гибелью индивидуумов, с приходом и уходом покупателей. Название не предполагает, что переходы из состояния п на
* Обозначения коэффициентов rnw ^n происходят от слов рекомоинация и генерация (recombination и generation) носителей заряда в полупроводниках; в задачах, связанных с процессами рождения и гибели, их часто обозначают Hn и Xn.
і 34 два и большее число шагов за время Ы запрещены, но при этом подразумевается, что вероятность таких переходов есть 0(А^2) или по крайней мере O(At). В тех случаях, когда происходит рождение пар или множественное рождение или когда имеет место диффузия нейтронов в делящихся веществах, а в каждом акте деления выделяется несколько дополнительных нейтронов, это требование не выполняется.
Одношаговые процессы можно подразделить на следующие три подкласса по виду множества возможных значений:
а) множество возможных значений состоит из всех целых чисел, — оо < п <Т оо;
б) множество возможных значений является полубесконечным, скажем, п = 0, 1,2, . . .;
в) множество возможных значений конечно, л = О, 1, 2, ...,Л'.
Если множество возможных значений состоит из нескольких интервалов, разделенных промежутками, то переходы через промежутки невозможны, так что процесс распадается на несколько независимых процессов, относящихся к классам б) или в).
Если точка п = О является границей, то уравнение (6.1.2) теряет смысл для п — О и должно быть заменено на
Po = ГіРі—goPo- (6.1.3)
Иногда удобнее воспользоваться другой возможностью и объявить уравнение (6.1.2) справедливым для п — О с определением
/ T0 = ^1 = O. (6.1.4)
Аналогично, верхняя граница N нуждается в специальном уравнении
Py = gy-iPy-i — rNpx (6.1.5)
либо в дополнительном определении
r,Vrl = gy — O- (6.1.6)
Другое подразделение одношаговых процессов основывается на коэффициентах r„, gn.
1. Коэффициенты постоянны, не зависят от п всюду, кроме, может быть, границ, Процессы такого типа мы будем называть случайными блужданиями (хотя этот термин часто используют для более общего случая). Такие процессы рассмотрены в следующем параграфе.
2. Коэффициенты являются линейными функциями п, но одновременно оба не равны константе. Процессы такого типа будем называть линейными одябшаговыми, их общее решение дано в § 6.6. Отметим, что здесь должна быть по крайней мере одна граница, поскольку в противном случае могут появиться отрицательные значения вероятностей перехода.
135- 3. Все другие случаи будем называть нелинейными. Они составляют предмет гл. 9. Однако нужно понимать, что основное кинетическое уравнение по определению всегда линейно относительно неизвестной /;„, а термин «нелинейный» в данном случае относится к коэффициентам. Важным примером одношагового процесса с постоянными вероятностями перехода является процесс Пуассона, определяемый соотношениями
