Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Связь между линейным и нелинейным уравнеїшями не является сущностью аппроксимации. Линейное уравнение Лиувилля является грубым эквивалентом нелинейных уравнений движения молекул. В общем случае любое линейное уравнение в частных производных математически эквивалентно уравнениям для его характеристик, которые могут быть нелинейными*. Справедливо также, что вблизи равновесного значения уе можно аппроксимировать нелинейное макроскопическое уравнение (5.8.6) линейным уравнением
^[У(г)-У'?|-=<МУ<,НУ(0--У'?]- (5 8.7)
Однако эта линеаризация является добавочным приближением, не связанным с линейностью основного кинетического уравнения. Можно добавить, что условие приближения к равновесию требует, чтобы величина а і (У) была отрицательной, что приводит к тому, что различные коэффициенты переноса, такие, как омическое сопротивление цепи, оказываются положительными.
Можно также вывести приближенное уравнение для ширины распределения. Начнем с точного тождества
= \ J (у" У2) W7 (y'! У) P (У) dy dу' -
= И и/ - УУ 1- 2у (у' - у)} W (y'\ у) P (у) dу dy' =
= <o2Wr + 2 (Ya1(Y),,. Тогда дисперсия о* (t) = 'Y3St— <Yy2t удовлетворяет соотношению
rin2
= <Й2 (У)>,4- 2 <(Y -<Y>t)ai (Y))j. (5.8.8)
Когда G1 и а.г — линейные функции у, это уравнение совпадает с
^ = О* (У (0) + 2а*а; (У (0), (5.8.9)
где штрихом обозначено дифференцирование. Когда аг и а.2 нелинейны. последнее уравнение можно рассматривать как приближенное: оно справедливо, когда флуктуации малы. Понятно, что, для того чтобы макроскопическое приближение было истинным, необходимо, чтобы флуктуации были малы. Обосновывая, что это в самом деле так, мы до сих пор обращались лишь к собственному опыту, теперь же, используя (5.8.9), это можно связать со свойствами основного кинетического уравнения. В (5.8.9) величина а, > 0, по определению, «і (у) < 0 при у = уе в некоторой окрестности. (Случай Oi(Ye) = O
* I. N. Sneddon, Elements of Partial Differential Equations (McGraw-Hill. New York, 1957).
№ рассмотрен в гл. 10.) Отсюда следует, что а2 стремится увеличиться со скоростью а2, но эта тенденция сдерживается вторым членом. Тогда а2 стремится стать равной
М2 Iflil). (5.8.10)
Условие, при котором уравнение (5.8.6) является приближенно справедливым, состоит в малости второго члена в (5.8.5):
а їй і 4а і
(5.8.11)
В нем утверждается, что вторые производные, ответственные за нарушение линейности, должны быть малы.
Получив уравнение (5.8.9) для дисперсии, включим в рассмотрение второй член в (5.8.5) и получим поправку к макроскопическому уравнению
y-a,(y) + 7,a'fl*(y). (5.8.12)
В гл. 9 будет показано, что это уравнение совместно с (5.8.9) в самом деле дает следующее приближение после макроскопического уравнения (5.8.6)*.
Пояснение. Макроскопическое уравнение (5.8.6) является дифференциальным уравнением для у, которое однозначно определяет у (і), когда задано начальное значение у (0). В следующем приближении (5.8.12) эволюция у зави-сит также от дисперсии флуктуаций. Причиной этого является то. что у флуктуирует относительно у И вследствие ЭТОГО чувствует значение О] не только в у, но также и в его окрестности. Этот эффект пропорционален кривизне O1: наклон O1 несуществен, поскольку флуктуации в этом приближении симметричны. Однако уровень флуктуаций определяется вторым уравнением (5.8.9). которое все же содержит наклон O1.
Тот факт, что мы теперь имеем два уравнения, а именно (5.8.12) и (5.8.9). означает, что у (t) уже Ht определяется только у (0), а зависит также От начального значения а2. Казалось бы, можно надеяться, что после короткого начального переходного времени а2 подстроится, быстро достигнув асимптотического значения, зависящего только от мгновенного значения у (/). так что после короткого перехода справедливым окажется «перенормнрованног» уравнение для у. Однако это не так: временной масштаб, на котором а2 достигает значения (5.8.10), определяется коэффициентом а[ в (5.8.9) и поэтому сравним с масштабом изменения самого у (см. (5.8.7)). Разделения масштабов не происходит, и потому нельзя выделить одно уравнение, содержащее только у Эта ситуация аналогична той, что встречается в кинетической теории разреженной плазмы **. В низшем порядке по плотности *** одночастичная функция распределения электронов удовлетворяет уравнению Власова. Приближение следующего порядка дается двумя связанными уравнениями для одночасткч-ной и двухчастичной функций распределения. С другой стороны, в кинетиче-
* К. G. van Kampen in: Fundamental Problems in Statistical Mechanics (proc NUFFIC Summer Course; E. G. D. Cohen ed., North-Holland, Amsterdam. 1962); R. Kubo, K- Matsuo, and K. Kitahara, J. Statist. Phys. 9. 51 (1973).
** N. Rostoker and M. N. Rosenbluth, Phys. Fluids 3, 1 (1960).
*** Или, вернее, по плазменному параметру 4r\e2l(kTd), где г — заряд электрона, a d — среднее расстояние между электронами.
130- ской теории газов Боголюбов * предложил приближенную схему, в которой все высшие порядки дают поправки к одночастичной функции распределения, но его схема неудачна **.
