Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
А^Х. (6.4.7)
Здесь предполагается, что вещества А настолько много, что его количество пд практически постоянно. Пусть п — число молекул вещества X. Это число за единичное время с вероятностью gn = knA увеличивается на единицу и с вероятностью rn = k'n уменьшается на единицу (k, k' — константы реакции):
Pn = k'(E-I) прп + knA (Е-1 — 1) р„. (6.4.8)
Стационарное решение является распределением Пуассона. Причина заключается в том, что молекулы X возникают и аннигилируют независимо друг от друга. В схеме реакции, в которой несколько молекул X реагируют совместно, они уже не являются независимыми и функция распределения отклоняется от пуассоновской (см. § 7.3).
5. Рост популяции. Пусть п — число индивидуумов в популяции определенного типа, такого, как бактерии. Каждый индивидуум за единичное время с вероятностью а. может умереть, а с вероятностью ? — породить добавочную особь, а и ? считают фиксированными и независимыми от возраста индивидуума, иначе процесс не был бы марковским. Тогда гп = ап и g„ = ?n. Согласно (6.3.4),
145- имеем уравнение
ЧГ<п> = ®—'«)<">'
которое выражает закон Мальтуса экспоненциального роста (при ? > а). Согласно (6.3.5), дисперсия удовлетворяет уравнению
"37 = 2 (?—а) а2 -j- (? -j- а) <я> (6.4.9)
и, следовательно, также возрастает экспоненциально. Отметим, что наблюдение <я> определяет только значение ? — а, а наблюдение отклонений от среднего дает ?-fa.
6. Каскады космических лучей. Когда электроны космического излучения попадают в поглощающий материал (например, свинец), вследствие тормозного излучения, сопровождающегося рождением пар, возникают дополнительные электроны. Пусть / — поперечная толщина, п — число электронов (положительно и отрицательно заряженных). Баба и Гейтлер * описывали этот каскад с помощьк> одношагового процесса с г„ = 0, g„ = ?. Основное кинетическое уравнение совпадает с (6.1.8), но начальное значение /?„ (0) = 5„, і, так что
МО = InrnJ-e-?' (Я= 1,2,3, ...).
Средний квадрат флуктуаций <я>— 1, что меньше наблюдаемого. Фурри** улучшил модель, взяв іп = 0, gn = yn, и нашел
/>„ (0 = e-v«(l— e-v')«-1.
Это распределение Паскаля с <л> = е?' и дисперсией a^(t)-= = ev<(ev<—1). Причина, по которой флуктуации столь велики, состоит в том, что каскадный процесс не только увеличивает среднее число электронов, но увеличивает также флуктуации относительно этого среднего. В более поздних работах учитываются также поглощение электронов, их распределение по различным энергиям и фотоны как самостоятельная сущность***.
Упражнение. Полагая, что гармонический осциллятор (см. п. 1) стартует и» состояния /J0, найдите <п> и а% как функции t и убедитесь, что они стремятся к своим равновесным значениям. Упражнение. Запишите основное кинетическое уравнение для примера в п. 2
и используйте его для нахождения <л> и On как функций t. Упражнение. Вычислите распределение р„ для примера в п. 3 с помощью статистической механики и покажите, что оно имеет вид (6.4.5) совместно с (6.4.6).
* Н. J. Bhabha and W. Heitier, Proc. Roy. Soc., A 159, 432 (1937).
** W. H. Furry, Phys. Rev., 52, 569 (1937). Этот процесс получил название процесса Фурри.
*** [3] On the Theory of Stochastic Processes and their Application to the Theory of Cosmic Radiation (Wiley, New York, 1943); J. Nishimura in: Encyclopedia of Physics, 46/2 (S. Flugge ed., Springer. Berlin, 1967).
146- Упражнение. Запишите основное кинетическое уравнение для автокаталитической реакции
А + Х—> IX,
где обратной реакцией пренебрегаем. Обсудите следствия. Упражнение. В примере п. 5 возьмите ? < а и найдите стационарное распределение.
Упражнение. Запишите основное кинетическое уравнение для модели Фурри каскадов космических лучей. Обратите внимание, оно отличается от модели роста популяции, что дает то же уравнение для <л>, но другое для <л2>. Упражнение. Улам рассмотрел одномерное движение одной частицы, которая отскакивает вперед и назад между двумя стенками, одна из которых фиксирована, а другая осциллирует со скоростью ± 1/2 (рис. 12). Скорость (ее модуль) V частицы изменяется на f+l при лобовом столкновении и на v—1, когда частица догоняет удаляющуюся стенку. Гамерслей заменил эту динамическую задачу на стохастическую путем введения следующего аизаца (Stosszahlansatz), который физически разумен, когда фиксированная стенка находится далеко, ио обходит реальную проблему: как стохастические аспекты возникают из лежащей в их основе детерминистической динамики? Вероятность того, что столкновение произойдет за время dt, равна vdt, и отношение встречных столкновений к столкновениям, в которых частица догоняет стенку, есть I AC I / I ВС | = -(V-^-1Ii)IiV — х/я)- Далее, начальное значение V берется равным 1/2, так что единственно возможными значениями для v являются 1/2-(-+ л (где л = О, 1, 2, ...). Покажите, что основное кинетическое уравнение имеет вид (6.4.1) с а — ? = 1/2. Покажите, что средняя скорость неограниченно возрастает и ее флуктуации нарастают с равной быстротой *.
6.5. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
