Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 59

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 159 >> Следующая


Гп -- П- §п ¦--- Я, Pn (0) 6 ,„ (6. 1 .7)

где q— постоянный параметр. Основное кинетическое уравнение имеет вид

Pn =•• я(Рп -I--Pn)- (6.1.8)

Это случайное блуждание на множестве целых чисел п — 0, 1, 2, ..., с шагом только в правую сторону, но в случайные моменты времени. Связь с гл. 2 становится более ясной, если воспользоваться следующим альтернативным определением. Каждое случайное множество событий можно рассматривать в терминах стохастического процесса Y1 если определить Y {() как число событий, происшедших между начальным временем t --- 0 и временем t. Каждая выборочная функция состоит из единичных шагов и принимает только целочисленные значения я=-0, 1, 2, ... (см. рис. 5). Вообще говоря, этот процесс Y — немарковский; но если события независимы (в том смысле, как и в § 2.2), то q(t)At является вероятностью сделать шаг в течение времени между моментами t и t dt независимо от того, что происходило раньше. Если q к тому же еще не зависит от времени, то Y является процессом Пуассона.

Упражнение. На йдите гп и gn для процесса распада из § 4.6 и определите, к

какому подклассу принадлежит этот процесс. Упражнение. Покажите, что процесс Пуассона

P-IO = ^fe-*

согласуется с (2.2.6). Отметим, что процесс Пуассона нестационарен, даже если случайное множество событий стационарно в соответствии с определением «стационарности» для случайных событий. Причина состоит в том, что Y (t) представляет собой полное число событий, считая с начального момента времени. Упражнение. Для независимых нестационарных событий в соответствии с определением (2.2.!) уравнение (6.1,8) остается справедливым, несмотря на то что q теперь зависит от времени (зависящий от времени «дробовой шум»). Снова найдите pn(t)-

6.2. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Рассмотрим неограниченное симметричное случайное блуждание: коэффициенты гп и gn постоянны и равны друг другу. Эту константу можно включить в определение единиц времени, так что

136- кинетическое уравнение, как и в (5.2.11), имеет вид

P = Pn--L +Рп-г — 2Pn (—оо<л<оо). (6.2.1)

Это случайное блуждание отличается от случаев, рассмотренных в § 1.4 и 4.5, тем, что время изменяется непрерывно. Теперь вероятности перехода берут за единичное время. Этот простой пример зачастую оказывается достаточным для иллюстрации более сложных процессов, в частности он содержит существенные черты физического процесса диффузии*.

В качестве начального распределения возьмем

^(0)--=6,,.0- (6.2.2)

Этого достаточно, потому что из-за инвариантности относительно сдвигов по п эта формула охватывает также случай рп (0) — 8Пі т для каждого т, ас помощью подходящего выбора суперпозиции этих состояний можно воспроизвести любое начальное распределение.

Существует много способов решения дифференциально-разностного уравнения (6.2.1); мы выберем метод, который можно использовать и в более общих случаях. Хорошим инструментом является производящая функция вероятности F(z, t), определенная в (6.1.2):

F[г, *) = 5>/'„(0, (6.2.3)

п

где г — вспомогательная переменная. Поскольку 2/'Л') 1 и

п

pn(t) ^ 0, эта функция наверняка существует при jz| = i. Она обладает свойствами:

F( 1, 0=1, F'{ 1, t) /;(/) , F"( 1, t) = <л(0*> — <n(ty>.

(6.2.4)

Штрих обозначает дифференцирование по г. Часто удобнее исполь зовать другую форму последних двух уравнений:

д log F

<Р log F dz2

:n{t)y,

(6.2.5)

dz

= <л (02> — <ti (t)>* — <n (0>.

Упражнение. Установите соотношение между производящей функцией вероятности и характеристической функцией. Выведите тождества (G.2.4) и (6.2,5) из известных свойств последней.

* По поводу приложения к химическим задачам см.: W. J. Shugard and Н. Reiss, J. Chem. Phys., 65, 2827 (1976>.

137- Упражнение. Выведите для всех п

Pn(0^2]u$Z~"~1FiZ' t)dZ¦ (6-2-6)

Интеграл берется по единичной окружности. Упражнение. Для случайного блуждания с дискретным временем рассматривались шаги в фиксированные моменты времени. Предположим теперь, что-моменты времени, в которые совершаются шаги, случайно распределены по Пуассону. Покажите, что эта ситуация описывается уравнением (6.2.1)*.

Уравнение (6.2.1) теперь можно записать как уравнение для F (г, t). Умножим (6.2.1) на г" и просуммируем по всем п: dF (г, t) !

dt

{г-гу-2 F(г, t), (6.2.7)

Это дифференциальное уравнение можно проинтегрировать. Общее решение имеет вид

F(г, 0-й(г)ехр|/(г + 1-2)]. (6.2.8)

Решение содержит произвольную функцию Q (г), которая должна быть выбрана, чтобы удовлетворить начальному условию (6.2.2). Это условие в терминах F имеет вид

F (г, 0) = 1.

Подстановка в (6.2.8) дает

1 =F (г, 0) = Q (г).

Тогда окончательное решение для производящей функции имеет вид

F(z,t) -exp + ^--2j|. (6.2.9)

Раскладывая это выражение по степеням г, т. е.

th+l Шї

= U

^^ tk+1 F(z, 0 = e"* V

k, I = 0 можно найти

fll+n

I

(I-Vn)W.- (6.2.10)

Суммирование здесь производится по всем целым значениям /, для которых и I, и п 4 I неотрицательны.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed