Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
P(N) = P^N,*+ 2 P' 2 P(Ni)P(Ni) ... P(Ns),
s=I N1 +N2 + ... + Ns=N-S
где ps—то же самое, что и в (2.4.11).
ГЛАВА 4 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В настоящей главе определен и описан подкласс стохастических процессов, обладающих свойством марковости. Такие процессы наиболее важны в физике и химии. В оставшейся части книги мы будем иметь дело исключительно с марковскими процессами.
4.1. СВОЙСТВО МАРКОВОСТИ
Марковский процесс определяется как стохастический процесс, обладающий следующим свойством: для любого набора п последовательных моментов времени (т. е. I1 < t2 < . . . < tn) имеет место соотношение
Рі\п-1 ІУ Jnlyi, ti, ...; «/„_i, /„-і) = Л I i(yn, tn\yn_!, /„_!>, (4.1.1)
78 которое означает, что условная плотность вероятности в момент времени Zn однозначно определяется заданным значением yn_t в момент tn_l и не зависит от каких-либо величин в более ранние моменты времени. Величину /3Iii называют вероятностью перехода.
Марковский процесс полностью определяется двумя функциями Pl ІУи tr) и P1Iiiy2, Z2|i/l. M- По этим двум функциям можно восстановить всю иерархию. Действительно, положив Zt Z2 < Z3, имеем
РЛУи ti, У*, t2\ Уз, t3) =
= PAyu ti, Уї, Pi і гІУз, tAyu tu у2, za)-= PAyu tJPuiiy*, (2\Уи МЛц(і/3, t*\y*> tt). (4.1.2)
Продолжая этот алгоритм, можно последовательно найти Pn. Это свойство делает марковские процессы особенно удобными в обращении и служит причиной, по которой они оказываются столь полезными во многих приложениях.
Упражнение. Покажите, что число нейтронов в ядерном реакторе является
марковским процессом (ср. с примечанием § 3.6). Упражнение. Азартный игрок играет в орла и решку. Пусть К/ —его капитал после Z бросков. Покажите, что Yt является дискретным по времени марковским процессом, и найдите его вероятность перехода. Упражнение. Рассмотрите обычное дифференциальное уравнение x~f(x). Запишите решение, имеющее начальное значение Xn в момент Z0, в виде * -= ф (*о, t—Z,)). Покажите, что х удовлетворяет определению марковского процесса с вероятностью перехода
PliAx- 'IjcO. /0)-=6 [Х-ф (*о, Z-ZOM- (4.1.3)
Это равенство справедливо также для многомерного Jf. Покажите, что любой детерминированный процесс является также марковским, хотя и сингулярного типа.
Упражнение. Хотя определение марковского процесса и выделяет одно направление времени, из него же следует аналогичное свойство для обратного упорядочения по времени. Докажите это с помощью (4.1.2).
Наиболее старым и хорошо известным примером марковского процесса в физике является броуновское движение*. Тяжелая частица погружена в жидкость, состоящую из легких молекул, которые сталкиваются с ней случайным образом. Вследствие этого под влиянием большого количества малых и, по-видимому, некоррелированных скачков скорость тяжелой частицы изменяется. Для простоты будем рассматривать движение как одномерное. Частица, имеющая скорость V, в среднем будет испытывать больше встречных столкновений, чем соударений, направленных по ходу движения. Следовательно, вероятность определенного изменения скорости 6V
* По поводу истории броуновского движения см.: G, L. de Haas-Lorentz1 Thesis (Leiden, 1912) перевод на немецкий; «Заметки» в: A. Einstein, Investigations on the Theory of Brownian Movement (A. D. Cowper transl., R. Furth ed. with notes, Methuen, London, 1926; Dover Publ., New York, 1956); S. G. Brush, Archive for the History of Exact Sciences 5, 1 (1968/69) =S. G. Brush, The Kind of Motion We Call Heat (North-Holland, Amsterdam, 1976) Vol. 2, Ch. 15.
79 в следующий отрезок времени А/ зависит от V, но не зависит от скорости в более ранние моменты времени. Значит, изменение скорости тяжелой частицы во времени является марковским процессом. Когда вся система находится в равновесии, процесс является стационарным и его автокорреляционное время представляет собой время затухания начальной скорости. Этот процесс подробно изучен в § 8.4.
Однако оказывается, что такая картина не дает согласия с экспериментами по броуновскому движению. Качественный скачок в понимании произошел, когда Эйнштейн и Смолуховский поняли, что это не то движение, которое наблюдается экспериментально. Действительно, между двумя последовательными наблюдениями положения броуновской частицы ее скорость увеличивается и уменьшается множество раз, так как интервал между двумя наблюдениями значительно превышает автокорреляционное время скорости. То, что наблюдается, является результирующим смещением, происшедшим после большого количества изменений скорости.
Предположим, серия наблюдений одной и той же броуновской частицы дает последовательность координат Xb X2, .... Каждое смещение XA + i—Xll (рис. 4) случайно, но его распределение вероятности не зависит от предыстории, т. е. не зависит от Хк_и ХА_2, .... Следовательно, марковским процессом является изменение не только скорости, но и координаты X частицы, измеренной в крупномасштабной шкале времени, что предписывается условиями эксперимента. Эта картина является основой теории броуновского движения, приведенной в § 8.3.
