Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Любую замкнутую изолированную физическую систему в принципе можно описать с помощью марковского процесса, если ввести все микроскопические переменные как компоненты Y. Действительно, микроскопическое движение в фазовом пространстве детермини-стично и, следовательно, обладает свойством марковости (ср. с (4.1.3)). Физический вопрос, однако, состоит в том, можно ли найти намного меньшее множество переменных, изменение которых со временем' будет описываться многокомпонентным марковским процессом. Хорошо известен, но все еще остается загадочным экспериментальный факт, что это действительно возможно для большинства многочастичных систем в природе. Конечно же, такое описание даже в лучшем случае является приближенным на ограниченно макроскопическом, очень грубом уровне. Такое сведение к намного меньшему числу переменных называют сверткой или проекцией, но обоснование этого приближения затрагивает фундаментальные проблемы статистической механики и все еще является объектом многочисленных дискуссий*.
Предостережение. В физической литературе эпитет «марковский» часто используют с вольностью, достойной сожаления. Этот термин обладает магической притягательностью, которая привлекает использовать его в интуитивном смысле, выходящем за рамки его определения. Читатель должен остерегаться таких ловушек.
* См. литературу к § 3.2.
82 1. Когда физик говорит о «процессе», он обычно подразумевает определенное явление, включающее время. Что касается процесса, определенного таким образом, было бы неправильным обсуждать вопрос, является ли он марковским или нет, пока не будут определены переменные, в которых он будет описываться. Искусство физика состоит в выборе переменных, которые делают описание приближенно марковским.
2. Критерий (4.1.1) является условием на все функции распределения Pn иерархии. Нельзя утверждать, что процесс марковский, имея информацию только о нескольких первых функциях Pn. С другой стороны, если известно, что процесс марковский, то, конечно же, знания функций P1 и P2 достаточно, чтобы определить весь процесс.
3. Часто возникают уравнения вида
P (у. t). й[Р(У, OJ. (41-4)
где Q — линейный или нелинейный оператор, действующий на переменную у. В соответствии с этим уравнением P (у, Z0) в любой момент времени Z0 однозначно определяет P (у, Z) при любых Z > Z0. Из этого факта зачастую делают неправильный вывод, что К (?) — марковский процеес. Сначала нужно выяснить, что означает P (у, І). Если окажется, что это P1 (i/, Z), то уравнение просто указывает, что одновременное распределение вероятности величины К (Z) описывается дифференциальным уравнением, но это уравнение не дает информации о функциях распределения высших порядков, которые входят в (4.1.1). Например, для любого стационарного процесса имеет место уравнение Р\ (у, 0 = 0, но, конечно же, не все стационарные процессы являются марковскими.
С другой стороны, уравнение (4.1.4) может означать, что любое решение с начальным условием P (у, t0) --d>(y — у0) идентично вероятности перехода -P1 I 1 (у. 'I J/o> 'о)- Действительно, основное кинетическое уравнение, выведенное в следующей главе для марковских процессов, относится к тому же типу. Однако оно не может гарантировать марковости ввиду того, что ничего не говорит нам о функциях распределения высших порядков*.
4. Иногда из уравнений следует, что P выражается через все более ранние значения Р, например
t
P(Z)=-JG(Z, і') P (!') At', (4.1.5)
о
где G — линейный оператор, действующий на переменную у. Основная мысль состоит в том, что решение с начальным значением P (у, 0) = 6(1/ — у(1) представляет собой P1 j j (у, ZI i/o, 0). Из этого «немарковского» уравнения можно сделать вывод, что K(Z) при Z > 0 не может быть марковским процессом. Однако уравнение (4.1.5) не означает, что необходимо знать значения P1 j , (у, Z' I 1/0, 0) в предшествующие моменты времени для того, чтобы узнать лх будущие значения. Контрпример будет дан в (4.2.9).
Упражнение. Должно ли случайное блуждание с памятью (1.7.8) называться
марковским процессом? (Ответ дан в § 4.5.) Упражнение. В качестве примера (4.1.4) решите уравнение
X
дР (и t\ °
-Р{У\ t)P(y — y', t)Ay' — P(y, t) (-«,<^<00)
— 00
* Оператор ? в основном кинетическом уравнении линеен. Можно показать, что вероятность перехода марковского процесса не может удовлетворять нелинейному уравнению вида (4.1.4). Аргументы в пользу этого утверждения аналогичны использованным в работе D. Polder, Phil. Mag. 45, 69 (1954).
83 с начальным условием P (у, /<>) = 6(і/— у„). Если У (?) — стохастический процесс, вероятность перехода которого P1 і 1 (у. t \ у„, tu) дается этим решением, он не может быть марковским, потому что решение не удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова (следующий параграф).
4.2. УРАВНЕНИЕ ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
Интегрируя тождество (4.1.2) по у2, получаем для Z1 < Z2 < Z3 PAyи tu Уз, t3) =
= PiilJi, (і)\Рі\АУ-г, t-ЛУи ti) P і І і ІУз, ta\y.,, Z2) dr/2. Разделив обе части на P1 (уъ Z1), получим PiiAy*, (зІУі, ti) =
