Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
* Harris Т. Е. The Theory oi Branching Processes (Springer, Berlin, 1963); Jagers P. Branching Processes with Biological Applications (Wiley, London, 1975).
Рис. 3. Одна из реализаций ветвящегося процесса общего вида
75 Особенности, определяющие ветвящиеся процессы, следующие
1) с каждого индивидуума начинается семейство потомков;
2) все эти семейства обладают одинаковыми стохастическими свойствами;
3) они не взаимодействуют друг с другом (если эволюция семейств зависит от спаривания между индивидуумами, то это уже не ветвящийся процесс).
Как следствие п. 3, условная вероятность P (я, t\m, 0) представляет собой свертку т множителей Р(п, Z11, 0). Это приводит к первому тождеству для производящей функции вероятности ветвящегося процесса, начинающегося с т индивидуумов при Z = 0:
F (г, t\m, 0) = {F(z, Z11, 0}'". (Z>0). (3.6.1)
Следовательно, достаточно изучить потомство от одного индивидуума.
Вероятность деления клетки, имеющей возраст т, за время dx есть y(x)dx. Это означает, что вероятность деления клетки зависит только от ее возраста. Допустим, что некоторая клетка родилась при Z = O. Пусть ш(т) — вероятность того, что клетка достигнет возраста т, ни разу не разделившись. Тогда w (0) = 0 и
dw (х) = — у (т) W (т) dx. (3.6.2)
Таким образом, w однозначно определяется функцией
W (т) = ехр
¦$Y(OdT'
(3.6.3)
Вероятность того, что в момент времени Z имеется всего одна клетка, в точности равна w(t). Вероятность того, что эта клетка испытает деление за время, прошедшее между моментами т и x-j-dx, есть — dtu>(x), что следует из (3.6.2). Если это случится, популяция будет состоять из двух вновь рожденных клеток, каждая из которых породит свою родовую ветвь. Тогда вероятность иметь п клеток в момент времени Z, если в начальный момент времени Z = O была только одна клетка, дается выражением
t
Р{п, Z| 1, 0) = бп1ш(1)— 5 dw(i)P(n, ZI 2, x). (3.6.4)
о
Это второе тождество для ветвящихся процессов*.
Умножая это тождество на Zn и суммируя по п = 1, 2, 3, ..., получаем
t
F (2, Z|I, 0) = zw (Z) — ^ dw (x) F (z, Z|2, x). (3.6.5)
* Здесь предполагалось, что возможно деление только на два индивидуума (см. упражнение).
76 Из-за однородности по времени, которая вытекает из п. 2, имеем F (г, 11 2, т ) = F(z, t — т I 2, 0 )={F(z, *_т|1, О)}2.
Подстановка этого выражения в (3.6.5) после перегруппировки членов дает
t
F(г, t II, 0)-г = -Jdiw(T) [{f(z, t-x\I, 0)}'-z] =
0 f (3.6.6)
= _ (z, t'\l, 0)}2 z] At'.
о
Это уравнение содержит только одну неизвестную функцию F (z, 11 1, 0), оно определяет производящую функцию вероятности и, следовательно, распределение вероятности, поскольку у(т) известно. Таким образом, рассмотрение ветвящихся процессов сведено к решению нелинейного интегрального уравнения. К сожалению, это можно сделать явно только лишь для нескольких видов функции y(t). Упражнение. Решите задачу для i>(T) = const.
Упражнение. Предположим, индивидуум, имеющий возраст т, обладает вероятностью Yv(t) разделиться на v = 0, 1, 2, ... новых индивидуумов за единичное время. Пусть Ф(?, t) = 2SVTv(t) — соответствующая производящая функция вероятности. Выведите для этого случая интегральное уравнение, аналогичное (3.6.6):
t
F (г, t j 1. 0)=-гш(0+5 w(t — t') ?{/7 (г, V | 1, 0), t — t'} dt' =
t ° (3.6.7)
= г+—Z')[cD{F(z, t' |1, 0), t — t'}—гФ (1, t — t')\dt' о
при соответствующем определении W. Упражнение. Продифференцируйте (3.6.6) по г и положите z= 1. В результате
получится интегральное уравнение для <n>t, которое можно решить. Упражнение. Задача Гальтона — Ватсона в оригинальной постановке была сформулирована для дискретной переменной времени Z = 0, 1, 2, ..., нумерующей последовательность поколений. Покажите, что в этом случае
Ft(Z) = Ft^(FAZ)), (3.6.8)
так что Ft(z) — t-я итерация функции F1(Z). Те же самые уравнения применимы к электронным каскадам в умножающих трубках * и фотонным умножителям на стимулированном излучении **. Упражнение. В случае фотона в бесконечной среде с поглощением и стимулированным излучением F1(Z) описывается выражением (2.4.11). Производя-
* Woodward Р. М. Proc. Camb. Philos. Soc., 44, 404 (1948).
** Van Vliet К. M., Zijlstra R. J. J. Physica, 89 А (1977); Van Vliet К. M., ZijIstra R. J. J., Van Kampen N. G. in: Noise in Physical Systems (Proc. Fifth Intern. Conf. on Noise; D. Wolf ed., Springer, Berlin, 1978).
77 щая функция для m-поколения дается непрерывной дробью
1
14-Є-
14-Є-
где 0 4-?/a. Найдите отсюда
1 + в —0г'
f 1-6*-(6-8*) г
,_0ш + 1_(0_в«-М)г ' V-bM>
Упражнение. Для того же случая последовательных поколений введем Ft(z) — производящую функцию распределения вероятностей всех потомков в поколениях 1, 2. ..., /. Покажите, что
Ft(z) = Ft-AzF1(z)). (3.6.10)
Упражнение. Для фотона в бесконечной среде функция F1(z) равна (2.4.11). Производящая функция полного количества вторичных фотонов в каскаде имеет вид
Упражнение. Формула (3.6.11) может быть получена и по-другому. Пусть P(N)— вероятность того, что налетающий фотон порождает общее количество N вторичных фотонов в каскаде. Тогда
