Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Мы не исключаем т -0, но определяем
то ІУ-z і Уі) ^ЬіУї — Уі)- (4.3.6)
Покажите, что это равенство согласуется с (4.3.2) и (4.3.3). Упражнение. Покажите, что (4.3.2) также может быть справедливым, когда и т и т' отрицательны. (Если только мы не должны исключать отрицательные значения.)
Упражнение. Убедитесь в том, что дихотомический марковский процесс (4.2.3) стационарен и удовлетворяет уравнению (4.3.3). Что может означать T_т в этом случае? Покажите, что уравнение (4.3.3) несправедливо при т > 0, т' < 0.
Упражнение. Автокорреляционная функция стационарного марковского про цесса дается выражением
и (т) = J J уіу2тх (у2 I уо P1 (,/О Cliz1 Ayt (т ^ 0). (4.3.7>
88 Упражнение. Докажите тождества
^Тх(у.2\Уі)Ау2--\, (4.3.8)
\ Tx (ін j г/,) P1 (i/j) diн = P1 (і/а). (4.3.9)
Выведите отсюда, что если 7'т рассматривать как оператор, то он имеет собственное значение, равное ! с левым собственным вектором (у) 1 и правым P1.
Самым известным примером стационарного марковского процесса является процесс Орншпгейна — Уленбека *, определенный соотноше-н и ями
L
P1(U1) - -4-е"2 (4.3.10)
V Z і
Tt („4 і „,) - ехр j - 1?=?? - 14.3.11)
Читателю не составит труда убедиться в том что оба условия непротиворечивости, приведенные в § 4.2, удовлетворяются. Первоначально этот процесс был построен для описания стохастического поведения скорости броуновской частицы (см. § 8.2) Ясно, что он имеет нулевое среднее значение и автокорреляционную функцию простого вида
X (т)е~ т. (4.3.12)
Процесс Орнштейна---Уленбека стационарен и обладает свойствами гауссовости и марковости. Теорема Дуба*"* утверждает, что имеется практически только один процесс, обладающий этими тремя свойствами. Под словами «практически один процесс» мы понимаем, что допустимы линейные преобразования величин у и t и что имеется еще один, хотя и тривиальный, процесс, обладающий такими же свойствами (см. упражнение ниже). Дадим набросок доказательства.
Пусть Y (t) — стационарный ' гауссов марковский процесс. Путем сдвига и изменения масштаба системы координат мы можем убедиться в том, что P1(Ij) равно (4.3.10). Вероятность перехода — гауссова и, следовательно, имеет общий вид
~ , , , г, -4 (АуЬ-ІВу,у^Си\)
Тт(У»\ УI)^ De 2К
где А, В, С, D - функции, зависящие от т. Условие нормировки (4.3.8) дает
D ---- УИЩп), С =--- B-J А,
* G. F.. Uhlenbeck and L. S. Ornstein. Phys, Rev. 36. 823 (1930); reprinted in Wax.
** J.L. Doob, Annals of Math. 43, 351 (1942); reprinted in Wax. Other theorems about Gaussian process иге given in J. L. Doob, Ann. Mathem. Statist, 15, 229 (1944).
89 в то время как из (4.3.9) следует дополнительное условие B2 -- А (А — 1). Остается только один неизвестный параметр А, который можно выразить через другой неизвестный параметр — автокорреляционную функцию, используя формулу (4.3.7), которая дает А=(\—х2)-1. Отсюда
(У г— У-У\)'1
у 2л (1 — к2)
ехр
Теперь возьмем третий момент времени Z использовав (4.3.2), получим
2(1—к2) з-',
(4.3.13)
' (т'>0) и,
'i)= Ji Уз&У* \ Tx. {y3[y2)dy.2, (4.3.14).
Tx (У 2 \ У і) УіРі ІУі) = и {t3 — ti) X (Z2 — t,) ¦ Это функциональное соотношение для функции х(т) показывает, что
х(т)-е"^. (4.3.15)
Подстановка этого результата в (4.3.13) завершает доказательство (ср. с (4.3.11)).
Вторая теорема утверждает, что если Y (t) — стационарный гауссов случайный процесс, имеющий экспоненциальную автокорреляционную функцию
х(т) = х(0)е"'1'т,
то Y (Z)— процесс Орнштейна — Уленбека и, следовательно, марковский процесс. Для доказательства предположим, что процесс имеет нулевое среднее значение и единичную дисперсию. Тогда производящий функционал (3.4.7) имеет вид
G ({к}) =-_, ехр [^l Jj k (Z1) к (Z2) e-vl '.-'.I Atl d Z2
что совпадает с производящим функционалом процесса Орнштейна — Уленбека.
Упражнение. Найдите производящий функционал и все моменты процесса Орнштейна — Уленбека.
Упражнение. Пусть ф — случайный угол и Ое:ф< 2л. Пусть P1 (ф) ~ 1 /(2л) и Tx (ф ! <р„) — решение уравнения
дГт(ф)_ дЧ\(ф) .
дх
<9ф2
7о(ф|фо) = 6(ф —фо)-
(4.3.16)
Найдите функции Pn для этого негауссова стационарного марковского процесса.
Упражнение. Определим случайный процесс У (/) — е'а1л |ф с фиксированными а и ф, как в предыдущем упражнении. Покажите, что его спектральная плотность имеет лоренцевский вид (1.2.2).
Упражнение. Выведите (4.3.13) из (1.6.12).
Упражнение. «Абсолютно случайный процесс» определяется свойством Pn (Уі, Z1; у 2, t-2\ ...; уп, t„)=rP1(y1, t1)P1(y2, ti)...P1(yn, t„).
SO Постройте такой процесс, обладающий тремя свойствами, обусловленными в теореме Дуба. В каком месте нашего доказательства мы упустили эту возможность?
Упражнение. Найдите три примера процессов, каждый из которых обладает
двумя, но не тремя свойствами, обусловленными в теореме Дуба. Упражнение. Докажите, что для любого гауссова процесса (с нулевым средним и единичной дисперсией) условное среднее в точке Z2 при заданном значении в точке Z1 имеет вид
