Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
65 Подставляя этот результат в (3.3.3) и предполагая, что к(т) — функция, достаточно гладкая для того, чтобы можно было подставить интервал Асо, получаем
05 05
^ cos X (т) tlx = J cos (сот) X (т) dt.
— 00 — OO
Поскольку в интервале Асе. имеется (Г,/л)Аш членов, в результате находим
X
S (со) Асо ^= — Аш Y -J- \ cos (сот) к (т) dt.
— *
Это и есть желаемый результат (3.3.4). Упражнение. Теорему Винера — Хинчина (3.3.4) можно представить в другом виде:
S (/) = 4 \ cos (2я/Ч) х (т) dt, о
где / = м/(2д)— обычная частота. Для комплексного процесса
(ш) -—.— ^ cos (сот) х (т) dT,
я
— OO
где к — комплексная автокорреляционная функция (3.1.6). Упражнение. Если Y имеет г компонент и они все действительны, естественно определить
OO
SiJ- (со) =J-^ COS (ют) KiJ (T) dx. (3.3.5)
о
Тогда спектр флуктуаций произвольной линейной комбинации Z-^c7Ky
/
дается выражением Sz (со) =- J Sij- (ш) clcj-. Найдите аналогичную формулу
U
для г комплексных компонент. Упражнение. Спектральная плотность процесса Кэмпбелла, определенная выражением (3.1.9) со стационарным независимым т4, имеет вид
S (со) = 2v I ф (ь>) I2, (3.3.6)
где —Фурье-образ от Упражнение. Отклик инерционного гальванометра с критическим демпфированием на импульсе тока при I = О есть xP (I) = Cte-^t. Найдите спектральную плотность отклика на стационарный поток независимых случайных импульсов.
Упражнение. Катод испускает электроны в независимые случайные моменты времени. Выведите соотношение
S,(f) = 2e<ly (3.3.7)
66 для спектральной плотности флуктуаций тока, где / = ш/(2л)— частота. Это теорема Шотки для дробового шума в насыщенном токе диода *. Упражнение. Пусть Y (/) — флуктуирующая часть электрического тока. Вомно-
t
гих случаях бывает проще измерить перенесенный заряд Z(t)—
о
Покажите, что его спектральная плотность Y связана с флуктуациями заряда «теоремой Макдональда» **:
00
5(<в)=1Г S sinw/ dT<Z^2> AL ^3'3'8)
о
^Указание. Сначала покажите, что (d/d/) <Z (Z)2> = 2 (J k(t')dt'. |
Верхний предел интегрирования в (3.3.8) определен в смысле Чезаро *** или с помощью обеспечивающего сходимость множителя е-Ет. В частности, для дробового шума, заданного соотношением (3.3.7), имеем **** «{Z (/)«}» =е</> г.]
3.4. ИЕРАРХИЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Предположим, что некоторый стохастический процесс Yx (t) задан описанным в § 3.1 способом. Тогда плотность вероятности для Fx (/) получить значение у в момент времени t дается выражением
РЛу, t) = lb{y-Yx(t)} Px(X) dx. (3.4.1)
Аналогично, совместная плотность вероятности того, что Y принимает значения в момент времени I1 и уг в момент I2 и т. д. до уп, t„, есть
Рп(Уи ti, у2, t-i, . . .; у„, /„) =
= S 6^-1^(/,)} 6{у2-Kje(Zi)J ... &{yn-Yx(tn)} Рх(х) dx. (3.4.2)
Таким образом, задается бесконечная иерархия плотностей вероятности Pn (п— 1, 2, ...). Эти распределения позволяют вычислить все средние, использовавшиеся нами ранее, такие, как
'Y (tj Y(tt) ... К (/„)> =
= 5 У-М* • • ¦ Упрп (Уи tu у J2-, ...;«/„, tn) Ayl dy.2 ... dyn.
Хотя правая часть соотношения (3.4.2) имеет смысл и тогда, когда некоторые моменты времени совпадают, мы будем полагать, что распределения Pn определены только для разных моментов времени. Тогда иерархия функций Pn удовлетворяет следующим четырем «условиям непротиворечивости»:
* Schottky W., Ann. Physik, 57,541 (1918); Van der Ziel A., Noise (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1954).
** MacDonald D. К. C., Report on Progress in Physics, 12,66 (1948).
*** Titchmarsh E.C. The TheoryofFunctions (Oxford University Press, 1932).
**** Milatz J. M. W. Nederl. Tijdschr. Natuurk., 8,19 (1941). 1) Р„>0;
2) Pn не меняется при внутренней перестановке пар (xk, Zfe) и (*„ Z,);
3) \ Рп(Уі. h; •••; Уп-1, tn-u Уп, Ud^n =
~Рп-і(Уіі ¦ ¦ ¦', Уп-г, tn-1)»
4) Mdy1=I.
Функции Pn позволяют вычислить все средние и, значит, определяют стохастический процесс (на самом деле эта спецификация в значительной степени избыточна, поскольку в соответствии с п. 3 любое конечное число функций Pn может быть опущено без потери информации). Колмогоровым было доказано*, что произвольный набор функций, удовлетворяющий четырем условиям непротиворечивости, определяет стохастический процесс K(Z) в том смысле, как он был определен в § 3.1. Следовательно, иерархия совместных плотностей вероятности дает еще одну равноценную возможность определить стохастические процессы, которая служит альтернативой определению, данному в гл. 1. Правда, в общем доказательстве конструкция переменной X, соответствующая данной иерархии, достаточно абстрактна. Однако, как разъясняется в § 3.2, в физических приложениях X известно a priori.
Условная вероятность P11 j (у2, і Ayi, Z1)—это плотность вероятности того, что величина Y принимает значение уй в момент времени Z2, если известно, что в момент времени Z1 ее значение было у г. Сформулируем это по-другому: из всех выборочных функций Yx(t) ансамбля выбираем те, которые удовлетворяют условию, что они проходят через точку у у в момент Z1: часть этого подансамбля, попадающая в интервал у2, у2 -г dу2 в момент Z2, обозначают РцЛУг, t-іІУи ti)dy2. Ясно, что вероятность P1 і j неотрицательна и нормирована:
