Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
<K(Z2)>y (,,) = „, - к (Ь- MiZi- (4.3.17)
Тогда для марковского процесса следует, что при Z1 < Z2 <
к (Z3, Z1) = * (Z3, Z2) к (Z2, Z1). (4.3.18)
Упражнение. Пусть К— гауссов марковский процесс, имеющий г переменных-Примените линейное преобразование, с тем чтобы P1 (у, Z) ~ ехр [— Viiz2I' Затем выведите для автокорреляционной матрицы соотношение
K(t3- h)~K(t3, ti)K(ti. Z1) (Z1 < Z2 < Z3). (4.3 19)
Если процесс является еще и стационарным, то отсюда следует, что AT(т) — е-т<? с постоянной матрицей G *. Упражнение. Покажите, что (4.3.11) удовлетворяет уравнениям
"'у.Т+Ц., (4 3.20)
дТ дТ , д*Т
T = -Jij--1---- , (4.3.21)
дт дуг Qyl
которые представляют собой прямое и обратное уравнения Колмогорова для процесса Орнштейна—Уленбека (ср. с. (6.10.9)). Упражнение. Пусть K(Z)—процесс Орнштейна — Уленбека: определим Z (Z) ¦=. і
с
= ^ Y (Z') At' при ZlsS 0. Процесс Z(Z) является гауссовым, но не является О
нтгстацнонарным, ни марковским. Покажите, «то
<Z(Zj) Z (Z2)) = е-''' +-e"-'2- 1— є"1 min (,'j. Z2).
Упражнение. Для того же процесса Z(Z) найдите характеристический функционал и используйте его для получения следующего соотношения:
<cos {Z (Z1)-Z (Г2)» = ехр [- е-' I-H Z1-Z2 Q.
Упражнение. В процессе Орнштейна—Уленбека измените масштаб переменных: у-=ау', Z = ?Z' — и покажите, что в соответствующим образом выбранном пределе по а и ? величина P111 сводится к вероятности перехода для вине ровского процесса.
Упражнение. Более общая формулировка второй теоремы дана в [2, р. 94|. Пусть K(Z) — нестационарный гауссов процесс с дисперсией 02(Z);p(Zb Z2) = x(Zj, t2)ja (Z1) a (Z2) — его коэффициент корреляции. (1.3.9). Тогда соотношение (ср. с (4.3.18))
р('з. M = P Cs, t2) р (Z2, Z1) (Z1CZ2ssZ3)
является необходимым и достаточным условием марковости процесса К (Z). Убедитесь в том, что винеровский процесс удовлетворяет этому соотношению. Упражнение. Если K(Z) — процесс Орнштейна — Уленбека, определенный выше,
* См. [5, с. 130, замечание IIJ также R. F'. Fox and G Е. Uhlenbeck, Phys. Fluids 13, 1893 (1970).
91 И t > I1 > t2 > . . . > /„, то
J1- <У (/) Y (Z1) Y (I2) ... Y (/„)> ,--<К (/) К (J1) К (Z2) ... К (/„)>.
Следовательно, если ф (t [Y]) — функционал, зависящий от t и всех значений Y во все предшествующие t моменты времени, то имеет место равенство *
(Y (0 ф (t, [К])) -=-(к (0
4.4. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОДАНСАМБЛЯ
В § 3.4 было отмечено, что, налагая условие на выборочные функции стохастического процесса, можно определить подансамбль. Эта концепция «выделения подансамбля» оказывается особенно полезной в случае стационарных марковских процессов. Поэтому мы рассмотрим этот случай более строго.
Пусть стационарный марковский процесс Y (Z) задан функциями Рі(Уі) и Тх(у2\у1). Возьмем выделенный момент времени Z0 и зафиксируем величину у0. Определим новый нестационарный марковский процесс Y*(t) для у ^t0, полагая
P Alh- (i) = Ttl-M Уо), (4.4.1а)
PllAy1, и\Уі, ti) =-- Tit - п (У 21 Уд- (4.4.16)
В несколько более общем случае можно выделить подансамбль, в котором в зафиксированный момент времени Z0 значения Y0 распределены в соответствии с заданным распределением вероятности р (г/о). Это равносильно тому, что
Pl (г/і, М^Т^.Ы^РЫФ,, (4.4.2а)
PhAyi, *ЛУи h) = Tt1-Myг)- (4.4.26)
Этот процесс можно рассматривать как усиленный вариант смеси процессов (4,4.1).
Эти процессы нестационарны из-за условия, выделяющего определенный момент времени Z0- Однако их вероятность перехода зависит только от разности времен, так же как и вероятность перехода исходного стационарного процесса. Нестационарные марковские процессы с вероятностью перехода, зависящей только от разности времени, называют однородными **). Они часто оказываются подансамб-лями стационарных марковских процессов в смысле, описанном выше. Однако винеровский процесс, определенный в § 4,2*" является при-
* V. F.. Shapiro and V. М. Loginov, Physica. 91А, 56,3 (І978).
** Название относится к однородности во времени, К сожалению, это может привести к путанице, потому что процесс может быть однородным в пространстве, т. с, инвариантным относительно сдвигов в пространстве в состоянии у. Поэтому чаще мы будем употреблять длинное выражение «марковский процесс со стационарной вероятностью перехода».
92 мером однородного процесса, который нельзя представить как под-ансамбль стационарного марковского процесса.
С физической точки зрения выделение подансамбля означает, что система должна находиться в определенном равновесном состоянии. Можно ожидать, что по прошествии большого времени система вернется к равновесию, так что
Р"ЛУг, ti) — Л(Уі) при/ —оо.
Так как это должно быть справедливым при произвольном р{уп), то должно выполняться условие
Ти-іЛУїШ-+PiUti)- (4.4.3)
Доказательство того, что это в самом деле так, является одной из принципиальных проблем теории марковских процессов (см. § 5.3).
Выделение однородного процесса из стационарного марковского процесса является обычной процедурой в теории линейного отклика. В качестве примера * возьмем образец парамагнитного материала, помещенный в постоянное внешнее магнитное поле В. Намагниченность Y в направлении поля является стационарным стохастическим процессом с макроскопическим средним значением и малыми флук-туациями около него. На минуту предположим, что это марковский процесс. Функция P1 (у) дается каноническим распределением
