Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 27

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 159 >> Следующая


Повторное предположение о случайности является центральным местом в рассуждении— это видно из того, что получающиеся макроскопические и мезоскопические уравнения необратимы, в то время как лежащие в их основе микроскопические уравнения обратимы во времени. С тех пор как Больцман впервые использовал свой Stosszahlansatz, было сделано много попыток исключить это основное предположение*, обычно заканчивающихся тем, что оно пряталось под ковер математического формализма.

Ясно, что кроме чистой математики необходимо еще что-то, чтобы понять, почему природа входит в противоречие с нами только в тех процессах, в которых энтропия возрастает, хотя обратные процессы также совместимы с микроскопическими уравнениями движения. Это фундаментальная проблема обоснования статистической механики необратимых процессов.

г. До сих пор наши рассуждения основывались на классической механике. Квантовая механика дает дополнительную непредсказуемость, которая связана с основами теории, а не со сложной природой системы. Стохастическая природа радиоактивного распада исключительно квантово-механического происхождения. Естественно, разница между классическими и квантовомеханическими флуктуациями туманна, поскольку природа (насколько нам известно) в своей основе квантова. Однако следует понимать, что для ответа на вопрос «почему стохастические процессы входят в физику?» нет необходимости обращаться к квантово-механической неопределенности. Действительно, стохастические методы применяются также к движению комет и игре в рулетку.

Классическое усреднение по всем микроскопическим состояниям в некоторой области фазового пространства эквивалентно усредне-

* См.: Ter Hear D., Rev. Mod. Phys., 27, 289 (.1957); Davies P. С. VV., The Physics of Time Asymmetry (Surrey University Press, London, !974).

63 нию в квантовой механике по всем векторам (единичной длины) в линейном подпространстве гильбертова пространства системы. Это равносильно усреднению по полной ортонормированной системе единичных векторов в этом подпространстве, что является более принятой процедурой.

Упражнение. Равновесие описывается не зависящим от времени ансамблем. Докажите, что в этом случае Y(t) является стационарным стохастическим процессом. При этом, естественно, предполагается, что гамильтониан не зависит явно от времени (система автономна: не испытывает влияния извне), то же самое предполагается относительно Y: она изменяется со временем только вследствие зависимости от положения в фазовом пространстве.

3.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим однокомпонентный действительный процесс Y (t) в некотором фиксированном интервале О < t < Т. Каждая реализация Yic(I) является обычной функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье в этом интервале. Чтобы избежать комплексных коэффициентов, мы используем синус-преобразование Фурье:

ээ

[I) X --1,,..^.4 -T"' •

п= I '

Коэффициенты ряда Фурье Atltx заданы выражениями

т

An. х =4" 1J- 0 ^xO ^t (3.3.1)

о

и удовлетворяют тождеству Парсеваля

T

л-. , J- \ YAt)* At. (3.3,2)

п=1 О

Если рассмотреть все возможные значения д: вместе с их плотностью вероятности Рх(х)< то величины Arltx становятся стохастическими переменными An. Например, их среднее

т

(AaS=-Y fsin [ Jrt) yYd);-dt, о

а усредняя (3.3.2), получаем

т

¦ОС

/1=1 о

Предположим, Y (t) — стационарный случайный процесс с равным нулю средним значением и конечным временем автокорреляции тс.

64 тогда <V(/)v не зависит от времени и

со

? у<ла„> = <у»>. 11= і

В этом отношении средний квадрат флуктуации <У*> выражается через сумму членов, каждый из которых относится к одной синусоидальной волне с частотой пп/Т. Вопрос состоит в том, чтобы узнать, как полный квадрат <Y2> распределен по частотам, или, другими словами, найти спектральную плотность флуктуации. S (со), определенную соотношением

S(W)Aft-- V ±<А%>. (3.3.3)

(?( < л я/Г ¦: to * Дій

Для того чтобы иметь возможность взять Au) малым, надо выбрать T большим и тогда много значений п попадет в интервал Ao;.

Ответ на поставленный нами вопрос дает теорема Винера — Хинчина, которая утверждает, что S (со) — это косинус-преобразование автокорреляционной функции:

X

.S (W) = С cos (wx) X (T) dt. (3.3.4)

о

Чтобы доказать это, нужно только представить в (3.3.3) явное выражение коэффициентов Фурье (3.3.1):

T T

<Л*> - — f dff dt' sin ^L sin ~ <Y{t) Y(t'):. = о 0

T T-t

4 Г ¦ -wt ., Г . лп (t 4 т) , , , =r-yz \ sm-y-dt \ Sin—-X (t) dx.

о -I

Поскольку мы предположили, что X (т) быстро убывает при

M > Tr,

се СО

\ IX (/) j dx =^ 2 ^ j X (т) j dx < ОО.

-ев О

Кроме того, T можно выбрать большим по сравнению с интервалом т, на котором х(т) заметно отличается от нуля. Далее понятно, что второй интеграл может быть взят в пределах от —оо до оо:

T X

<A'i'> — yj- ^ sin2 dt j cos ^~х(т) dr -т

0 -X

T as

4 p . nnt Л tit ,, С ЛИТ , . , -- YT \ SIn —f~ C0S ~f \ —f~ y' (T) dT =

0 — QD

4 TC лпт , . j = TrT J cosT- >Ф)(іт.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed