Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(е'*«»>-1)>/
XfK(Z1) ... Y(Im)Idl1 ... dZ,„. (3.4,9)
Упражнение. Случайное множество событий определяет процесс Y (Z) = = So(Z —Za). Применив (3.4.9), выведите другим способом выражение (2.5.10).
70 Упражнение. Покажите, что настоящее определение «стационарности» через Pn
эквивалентно определению (3.1.3). Упражнение. Пусть (А'(/), Y (t))—двумерный стохастический процесс с иерархией Pn. Определим функцию
г п (X1, tu . . • у лп> 1 Ttf — \ г п (*ъ Ух, 1U ¦ • ¦; Xn, уп, tn) Ay1 ... Ayn. (3.4.10)
Покажите, что эти частные функции распределения снова определяют процесс X (/).
3.5. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
Большая часть стохастических процессов в физике и химии относится к марковскому типу, и поэтому они включены в материал следующей главы. Однако имеется пример, иллюстрирующий применение и не марковского процесса. Рассмотрим следующую физическую задачу: невесомая упругая струна закреплена при х = 0 и x = L. Пусть у{х) — поперечное смещение, тогда энергия упругой деформации струны, форма которой определяется функцией у(х), имеет вид
? = И (?)¦«*• «".и
о
Когда струна подвергается воздействию тепловых флуктуаций (из-за окружающего ее воздуха), у (х) становится случайной функцией, л: играет роль переменной, которую мы до сих пор называли і. Можно ожидать,, что вероятность реализации любой частной зависимости у (х) пропорциональна величине
-Ef(ItT)
ехр
где ?=l/(kT), T—температура воздуха.
Это приближенное соотношение (по крайней мере до тех пор, пока мы не научимся различать и учитывать отдельные «формы» у{х), т. е. пока не научимся интегрировать в пространстве функций у).
Чтобы сформулировать эти эвристические идеи точно, определим стохастическую функцию Y (х), выборочными реализациями которой являются функции у(х). Возьмем п различных точек xv в интервале (0, L) и пронумеруем их числами от 1 до п:
0 < X1 < X2 < ... < хп < L. (3.5.3)
J
В каждой точке Xv зададим интервал (yv, yv + dyy). Энергия струны, приходящаяся на эти интервалы, равна
Чу\ і (f/2-Уі)2 . , ІУп-Уп-1)2 у\ 2 V x1 1 x2 x1 х„—х„_1 L-хп )'
71 Для удобства записи введем обозначения X0 = 0, у0 — 0, Xn^1 = Lr Уп +1 = 0, тогда это выражение для энергии можно записать в виде
Iy (Уу .. —у\< Y
Проделав эту подготовительную работу, определим иерархию Pn, полагая
Pn [Ух, -V1; • • ¦; уп, Xn)----
л/. • - ГТ / ? P (^1—^v)2] ,O^1V
Это выражение определяет Pn, когда Xv удовлетворяет условиям (3.5.3). Для другого упорядочивания Pn определено условием симметрии (см. п. 2 § 3.4). Выполнение условия совместимости п. 1 § 3.4 очевидно. Условие п. 3 § 3.4 может быть проверено с помощью явного вычисления, условие п. 4 § 3.4 справедливо из-за нормирующего множителя, который мы дописали перед произведением. Более того, для больших п, т. е. для достаточного частого разбиения интервала (0, /,), понятно, что Pn согласуется с интуитивной формулой (3.5.2). Тогда соотношение (3.5.4) определяет стохастический процесс, который отражает физическую идею состояния теплового равновесия струны.
Каждое Pn представляет собой многомерное распределение Гаусса, так что мы имеем дело с гауссовым процессом. Это обстоятельство позволяет использовать соотношение (3.1.6). Далее находим <К(лг,)>=0 и для .V1 С; л")
,.Y (X1)Y(X2), і^ік^ї). (3.5.5)
Заметим, что вследствие нестационарности процесса * его автокорреляционная функция зависит не от \ х±—х.г\, и даже содержит полную длину струны L. Следовательно, теорема Винера — Хинчина непосредственно неприменима, однако аналогичное вычисление коэффициентов Фурье An дает <ЛК>^=0 и
<ЛаАа> = Hnm^ j. (3.5.6)
Это равенство просто означает, что флуктуации нормальных мод некоррелированяы и каждой нормальной моде соответствует энергия lJjiT. (Множитель V2 возникает из-за того, что колебания нашей струны затухают и струна не имеет кинетической энергии.)
* Поскольку наша переменная х, а не t, слово «однородный» было бы более подходящим, но этот термин мы будем использовать в другой связи (см. § 4.4).
72 Примечание. В соответствии с этим вычислением среднее значение полной энергии оказывается бесконечным. Для физической струны это не является парадоксом, потому что выражение для энергии (3.5.2) становится неприменимым при слишком малых длинах волн. Однако аналогичное вычисление применимо к электромагнитным волнам, распространяющимся между двумя отражающими зеркалами при Jf=O и x=L. В этом случае можно ожидать, что формулы остаются справедливыми при всех длинах волн, поэтому бесконечное значение энергии представляет собой проблему. Этот парадокс называется ультрафиолетовой катастрофой Рэлея—Джинса. Он был разрешен введением планковских квантов.
Здесь можно добавить, что эта трудность позже появится вновь, когда окажется, что каждый осциллятор обладает энергией в нулевой точке. Эта энергия существует также в пустом пространстве и не зависит от температуры. Следовательно, ее можно вычесть из полной энергии, что не должно отразиться на наблюдаемых фактах. Однако разность между энергией в нулевой точке поля между зеркалами и поля в вакууме не равна нулю и зависит от L. Следовательно, это приводит к возникновению силы между зеркалами, которая является макроскопическим вариантом силы Вад-дер-Ваальса, действующей между молекулами. Эта сила подробно изучена *.
