Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Физик разложил бы у(х) по нормальным модам и зная, что средняя потенциальная энергия гармонического осциллятора равна l/2kT, применил формулу (3.5.6). Выведите таким путем формулу (3.5.5). Упражнение. В выражении (3.5.6) замените множитель 1/? на распределение Планка и найдите таким способом квантово-механический аналог формулы (3.5.5).
Упражнение. Рассмотрите струну, состоящую из точечных масс, соединенных гармоническими пружинами и закрепленную на концах:
yv = Уч+і-гУч-і — 2f/v- Уо = 0, Уп+1 = 0. Вычислите \у\1/ц~ в тепловом равновесии и покажите, что в этом случае не возникает трудностей с расходимостями.
Родственной, но более сложной концепцией является понятие случайного поля, которое возникает в теории излучения**. Пусть и (г, t)— поле, подчиняющееся некоторому не зависящему от времени линейному дифференциальному уравнению в частных производных, например
0. (3.5.7)
Решения этого уравнения можно представить в виде суперпозиции нормальных мод uq(г, t):
и{г, о =--2 V4 С. о- (3.5.8)
Q
Связанное с этим равенством выражение для энергии решения представляет собой сумму энергий нормальных мод:
E = ^sqA2q.
Q
* Langbein D. Theory of Van der Waals Attraction (Ergebn, exakten Naturw., 72; Springer. Berlin, 1974).
** Другие приложения могут быть найдены в кн.: Preston С. Random Fields (Lecture Notes in Mathematics, 534; Springer, Berlin, 1976).
73 Тепловое равновесие описывается ансамблем, т, е. А становится случайной переменной с распределением вероятности (в классической статистике), пропорциональным
е-?<<*п = Де-РМ;. (3 5 9)
ч
Таким образом, величины Aq представляют собой независимые гауссовы случайные переменные с равными нулю средними значениями. Соответственно и (г, t) становится также случайным полем, т. е. случайной функцией четырех переменных г, t, а не только одного t. Будем интересоваться ее стохастическими свойствами, например двухточечной корреляционной функцией
IQ'
= 2(2?e,))-1«9(r1, tx)u4(г2, Z2). (3.5.10)
ч
В бесконечном пространстве нормальные моды образуют непрерывное множество и (3.5.8) должно быть интегралом. Это затрудняет применение (3.5.9), и поэтому все поле часто помещают в большой куб й. В качестве граничных условий можно выбрать г/= --0 на стенках Й, но нормальные моды принимают более простой вид, если потребовать, чтобы и были периодическими функциями с периодом й. Результаты не зависят от этих манипуляций при условии, что й в конечном счете устремляется к бесконечности.
Вычислим (3.5.10) для реального поля, подчиняющегося волновому урапнечаю (3.5.7). Действительные решения уравнения (3.5.7) имеют общий вид
и (г, 0==2[а,е"«г-,'<> + а;е-|<»'-»0]. (3.5.И)
я
Здесь q —вектор с дискретными пространственными компонентами: /' 2л 2л 2л \ і ,
q = \ —"*. ~тп'г —nz)' ^Нч I
с целыми пх, пу, пг, пробегающими значения от —оо до + ос, L — ребро куба U. Для каждого q имеется только один комплексный коэффициент aq — а'я-\- ia"q, его действительная и мнимая части представляют собой коэффициенты, которые мы раньше называли А . Полная энергия
E - у J HV")2 + (dtu)2} dr = 2Й ? q2 (< <).
Q Ч
В тепловом равновесии в соответствии с (3.5.9) имеем
или
aqa'q,> = Ьяв. (2йр<?2)-!; <aqar> = <а*а*.> = 0.
74 Теперь легко находим <ы(г„ Z1) ы(r2, t2)> =
= 2! (2??<72)-1 {е|«,<'--',*>-1» <''-'»> 4- e~i?(''^-''^, ' if U.-/„>}.
q
Для больших Q сумму по q можно заменить интегралом, принимая во внимание, что в единичном объеме q-пространства имеется [L/(2jt)]3 дискретных значений:
q
Тогда, полагая T1 — r2 = p, Z1 — Z2 = т, получаем
<ы(гь Z1) и (г2, = 5 + е-i^f
Упражнение. Докажите, что (3.5.11) является общим решением и что изменяя его можно подобрать ач для любых заданных начальных значений и и dfU.
Упражнение. Вычислите <и(хх, ti)u(x2, /2)> Для вибрирующей струны. Упражнение. Покажите, что (3.5.12) обращается в нуль внутри светового конуса и равно &77(4л | T1 — гз|) вне его.
3.6. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
Существует класс процессов, которые хотя и не являются марковскими, но все же в значительной степени могут быть рассмотрены явно*. Такие процессы чаще встречаются в задачах о популяциях, чем в физике. Впервые подобная задача была рассмотрена в 1874 г., когда Гальтон поставил вопрос о том, связано ли отмирание родовых имен высшего света в Англии со статистикой или с бесплодием богатых людей.
Рассмотрим популяцию бактерий или других клеток, размножающихся давлением. Клетка, имеющая возраст т, с вероятностью у (т) dZ делится на две клетки в течение последующего промежутка времени dZ, каждая из которых образует новую ветвь родового дерева. Задача состоит в определении вероятности P (п, Zjm1 0) иметь п индивидуумов в момент Z, если при Z = O их было т.
Модель, конечно, можно изменить, например, включив в нее вероятность смерти. Такой подход применим также к каскадам в космических лучах или к нейтронам в реакторе, если допустить возможность рождения более чем двух частиц в каждом событии (рис. 3). Однако в этих двух случаях у не зависит от возраста, что делает задачу марковской и, следовательно, более простой (см. гл. 4).
