Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично решается задача об искривлении лучей заходящего Солнца в верхних слоях атмосферы. В данном случае показатель преломления при увеличении высоты убывает, лучи изогнуты (рис. 6.17) и заходящее Солнце будет казаться выше, чем оно действительно находится. Более того, может создаться ситуация, когда находящийся на земле наблюдатель видит Солнце, уже скрывшееся за горизонтом. При истолковании этих явлений, физическая сущность которых совершенно ясна, следует также учитывать психологический эффект, заключающийся в том, что мы настолько привыкли исходить из основного свойства распространения световых лучей в однородной среде — их прямолинейности, что невольно пытаемся перенести его на более сложные случаи, когда лучи искривлены.
Для обоснования геометрической оптики применяют различные постулаты, или принципы. В частности, используют принцип наикратчайшего оптического пути (или наименьшего времени), сформулированный Ферма в середине XVII в. Покажем, что этот принцип следует из уравнений электромагнитной теории
274
света в пределе X —> 0. Будем исходить из уравнения (6.15). Проинтегрируем его вдоль произвольной кривой, соединяющей точки А и В:
В В
n(sdr) = dr = S(B) - S(A). (6.19)
Очевидно, что линейный интеграл в левой части (6.19) не зависит от формы пути интегрирования от А к В и равен разности значений эйконала в этих точках. Полученное соотношение называют интегральным инвариантом Лагранжа.
Назовем оптической длиной некоторой кривой, соединяющей точки А и В, интеграл
В Jf (6.20) п al.
А
В том случае, когда рассматриваемая кривая является реальным лучом, проходящим через точки А и В, ее оптическая длина (6.20) совпадает с интегральным инвариантом Лагранжа (6 .19). В самом деле, при интегрировании вдоль луча dr/d I = s и левая часть (6.19) принимает вид
в в в
«(sdr) = Jn(ss)d/ = J/idZ . (6.21)
AAA
Можно показать, что оптическая длина любой другой кривой, соединяющая точки А и В, больше, чем S(B) — S{A), т. е. оптической длины реального луча. Из свойств скалярного произведения следует, что sdr < dI и, следовательно,
f f (6-22) S(B) — S((A) = j л (sdr) < jndl ,
A A
причем равенство выполняется только в том случае, если направления s и dr совпадают в каждой точке рассматриваемой кривой, т. е. если она является реальным лучом.
Таким образом, мы получаем принцип Ферма, согласно которому оптическая длина реального луча между любыми двумя
точками А и В короче оптической длины любой другой кривой,
с
соединяющей эти точки. Так как dl = — df, то
п
275
в в
ndl = с J dt . (6.23)
А А
Оптическая длина кривой между точками А и В пропорциональна времени, требующемуся свету для прохождения вдоль этой кривой. Поэтому принцип Ферма можно сформулировать так же, как и принцип наименьшего времени: свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения.
В приведенном доказательстве принципа Ферма было использовано предположение о том, что в исследуемой области через каждую точку проходит только один луч. Таким образом, выпали из рассмотрения такие практически важные случаи, как, например, поле лучей от точечного источника А в однородной среде, отраженных плоским зеркалом (рис. 6.18), где через любую точку В проходят два луча. Оптическая длина прямого луча АВ является в этом случае абсолютно минимальной, тогда как оптическая длина отраженного луча СВ минимальна лишь по отношению к оптическим длинам кривых, лежащих в некоторой ограниченной окрестности луча (например, АС'В).
Чтобы включить в рассмотрение и такие случаи, можно сформулировать принцип Ферма в другой форме: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки,
тем, что соответствующая ему оптическая длина ndl имеет
А
стационарное значение, т. е. малое изменение траектории (например, точки падения на зеркало) не приводит в первом порядке к изменению оптической длины. Другими словами, свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения. Математически это выражается тем, что для реального луча первая вариация интеграла
В
(6.20) должна быть равной нулю (а Г ndl — 0). Общность этого
А
метода полностью выявляется в аналитической механике, но впервые такой прием был использован именно при описании оптических явлений.
Как уже указывалось, принцип Ферма часто используется для обоснования законов геометрической оптики. Действительно,
А
6.18. Отражение света точечного источника А от плоского зеркала и построение его мцимого изображения А
276
применением его просто получают законы отражения и преломления света на границе двух сред. Отметим, что в электромагнитной теории света эти законы являются прямым следствием граничных условий в уравнениях Максвелла, а содержание этого параграфа показывает, что принцип Ферма может рассматриваться как следствие этой общей теории.
Использование принципа Ферма иногда облегчает решение оптических задач. Так, очевидны условия фокусировки света при его отражении от эллиптического зеркала. Изображение светящейся точки, помещенной в одном из фокусов эллипсоида вращения Р, получается в фокусе Q, так как суммарная длина РО + OQ (рис. 6.19) постоянна для любого положения точки О на поверхности эллипсоида. Так же легко понять фокусирующее действие линзы, у которой суммарная оптическая длина пути в стекле и воздухе оказывается стационарной (рис. 6 .20).
