Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Следует учитывать, что приведенные в этом параграфе формулы выведены в предположении о равномерном освещении от-
285
верстия. При нарушении этого исходного условия распределения интенсивности в дифракционной картине может быть существенно другим.
В некоторых приложениях (см. § 6.7) используется освещение щели по синусоидальному закону. Пусть распределение амплитуд на щели задается формулой
Ех =
_ Е0
Ъ Г
(6.39)
6.29. Наложение главных максимумов интенсивности при дифракции на щели света от трех точеч-
ных источников где ь _ по-прежнему ширина щели. Нетрудно видеть, что центр щели освещен максимально, а амплитуда колебаний на краях равна нулю. Тогда для выяснения вида дифракционной картины придется несколько усложнить вычисления, приведенные при выводе (6.33), и вычислить выражение
Е.
<р
exp (ixot) 1 — cos
2 пх
ехр(—ikxsinq>)dx. (6.40)
о
В результате для интенсивности дифрагированной волны получится
\2
1‘Р = Г{
sinu
и
[1 - (ы/тг;2]2
(6.41)
где и — (7t&A)sincp.
Это выражение отличается от (6.36) наличием в знаменателе множителя [1 — (и/я)2]2, который обращается в нуль при и = п. Поэтому интенсивность света в этой точке отлична от нуля и впервые обращается в нуль при и = 2п. В результате центральный максимум интенсивности света, дифрагированного на щели с таким пропусканием, заметно шире, чем при равномерном освещении щели.
Используя полученные выше формулы, легко вычислить распределение освещенности при дифракции плоской волны на прямоугольном отверстии шириной Ъ и высотой а. Напомним, Что при расчете освещенности дифракционной картины от бесконечно длинной щели все элементы вдоль оси У считались некогерентными источниками и создаваемые ими освещенности просто складывались. Очевидно, что в случае дифракции плоской волны на прямоугольном отверстии так делать нельзя. Надо осветить отверстие удаленным точечным источником илИ параллельным пучком света. При описании опыта необходимо провести суммирование амплитуд также и вдоль оси У, т.е. вычислить еще
286
один интеграл вида (6.33). Таким образом, здесь приходится решать двумерную задачу, параметрами которой служат два угла дифракции. Угол ср по-прежнему характеризует распределение интенсивности вдоль оси X, а угол ц/ определяет отклонение волны вдоль оси У, причем проведенный выше анализ соотношения (6.36) сохраняет свое значение, т.е.
V tp = i’o(sinui/u1)2(sinu2/u2)2, (6.42)
где и\ = (7rfeA)sincp, щ = (7taA)sinvy.
Рис. 6.30 иллюстрирует эту зависимость. Важно указать, что если Ь < а (т. е. высота прямоугольного отверстия больше его ширины), то дифракционная картина будет больше растянута по оси X, чем по оси У. Иными словами, дифракционное изображение прямоугольного отверстия тоже будет прямоугольником, высота которого меньше его ширины. Через центральную часть
а) б)
6.30. Фраунгоферова дифракция на прямоугольном отверстии (а)
Длина волны света X = 5790А. Отверстие, ориентированное так же, как и фотография (б)
этой двумерной дифракционной картины пройдет основная доля потока световой энергии. Относительная интенсивность максимумов вдоль любой из осей будет по-прежнему характеризоваться отношением чисел 1000 : 47 : 17. Интенсивность максимумов в направлениях между осями X и У совсем мала, так как она определится произведением двух малых величин.
Наблюдение картины дифракции света на малом прямоугольном отверстии (рис. 6.30) требует усложнения техники эксперимента, так как обычно интенсивность даже главного (центрального) максимума мала. При лекционных демонстрациях нужно использовать телевизионную технику.
Задача о дифракции френелевых волн на круглом отверстии в непрозрачном экране графически исследовалась в § 6.1. При
287
фраунгоферовой дифракции плоских волн на круглом отверстии получается качественно такая же картина. В фокальной плоскости линзы наблюдаются центральное светлое пятно в виде круга и охватывающие его концентрические светлые и темные дифракционные кольца. Математически (после перехода к полярным координатам) задача сводится к определению корней функции
Бесселя J'i(u),.где и = (27tA)asincp, а — радиус отверстия. Первый
корень, соответствующий первому минимуму освещенности (т.е. границе центрального светлого пятна в дифракционной картине), получится при значении
sincpi = 0,61 Х/а. (6.43)
Эта формула играет первостепенную роль в дифракционной теории оптических инструментов. Распределение интенсивности при дифракции плоской волны на круглом отверстии задается функцией
1(и) ~ [2^(ы)/ы]2. (6.44)
Оно представлено на рис. 6.31. Мы видим, что и в данном случае интенсивность центрального светлого пятна велика по сравнению с интенсивностью последующих максимумов. Это
0,5
10
1
L
10 и
б)
6.31. Распределение интенсивности в дифракционной картине при дифракции Фраунгофера на круглом отверстии
Диаметр отверстия 6 мм, X = 5790А. Фотография картины (сильно переэкспонирован-кая) (Л); график функции распределения (б)
288
'
F > в
позволяет не учитывать их при оценке роли дифракции в оптических и спектральных инструментах.
