Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим излучение длинной и тонкой самосветящейся нити, каждая точка которой испускает плоскую волну, падающую нормально на щель ширины Ъ в непрозрачном экране. Образующие щели параллельны светящейся нити. Примем это направление за ось У. Ось X проведем в плоскости непрозрачного экрана перпендикулярно образующим щели, а ось Z — перпендикулярно этой плоскости. Очевидно, что в данном случае можно решать одномерную задачу без учета интерференции вдоль оси У, так как все точки бесконечно длинной самосветящейся нити являются совершенно некогерентными источниками. Как это обычно делается, будем решать скалярную задачу. В дальнейшем мы затронем вопрос о постановке электромагнитной векторной задачи лишь в связи с появившимися за последнее время работами о поляризации излучения дифракционной решеткой .
2Г Z| Ь
~РГ/
*( Z1
X
6.27. К исследованию дифракции плоской волны на щели
Итак, проведем необходимые расчеты (рис. 6.27): участок dx посылает в направлении Z', составляющем угол ср с осью Z, плоскую волну с запаздыванием по фазе на ftxsincp. При записи амплитуды этой волны учтем, что вся щель в направлении ср = О посылает излучение с некоторой амплитудой Eq. Следовательно, участок dx щели шириной Ъ пошлет в направлении Z' волну dЕ^ с амплитудой EqAx/Ь, т. е.
EqAx
d Ер =—g—exp[i(cof — Axsincp)],
откуда
28?
V
Eq, - ^2- exp{uot) Jexp(—ifesir^dx =
0
En .4 exp(—ikbsinq>)\b exp(—iftbsinffl)—1
= _JL ехр(1йЯ)---V_№i^[q = Е0ехР(Ш) - .
(6.33)
Соотношение (6.33) легко преобразовать к симметричному виду, позволяющему применить формулу Эйлера:
Д0ехР(-‘^""ф/2) ~ вхр(1*68Щф/2) [i(lal_ti,sin /2)] ,
^ — 2i(kbsina>/2)
(6.34)
Обозначим -^-febsin9 = -y^-sincp через и. Очевидно, что
амплитуда волны, распространяющейся под углом ср к оси Z, равна
Ер = Eosinu/u. (6.35)
Переходя к интенсивности стационарной дифракционной картины 1р (т.е. устанавливая распределение освещенности), имеем
Ip - J0(sinu/«)2. (6.36)
Исследуем это выражение.
Как и следовало ожидать, интенсивность максимальна в центре дифракционной картины. В этом случае ф = 0 и и — (jib/X)sinq> также обращается в нуль. Хорошо известно, что lim(sinu/u)=
и—>0
= 1 и, следовательно, Ip=o = Iq.
При некторых углах, отличных от ф = 0, будет наблюдаться полное исчезновение света. Это произойдет в тех случаях, когда sinu = 0, а и / 0. Отсюда сразу же получается условие возникновения минимумов в распределении освещенности и = ±тп, где т - 1, 2, 3, . . ., или
Ьвтф = ±тХ. (6.37)
Заметим, что первый минимум можно наблюдать под углом, удовлетворяющим условию вШф = ±X/b. Из дальнейшего станет ясно, что основная часть потока энергии сосредоточена в этих пределах изменения угла дифракции.
Между минимумами расположены побочные максимумы осве-
284
щенности, которые, как легко показать, возникают при углах ф, получающихся при решении трансцендентного уравнения tgu = и, а именно при
siiKpi = ±1,43X/b, sin92 = ±2,46Х/Ъ и т. д. (6.38)
С увеличением угла дифракции быстро уменьшаются экстремальные значения функции (sinu/u)2. Если считать Iq = 1000 и обозначить интенсивность первого побочного максимума через
II, а второго — через 12, то получим Iq : 1г : 12 = 1000 : 47 :17. Следовательно, можно утверждать, что, хотя основной световой поток сконцентрирован в пределах, определяемых значениями 8Шф = ±л/Ъ, некоторая часть его распространяется в направлении первых (« 5% энергии) и даже вторых (* 2% энергии) максимумов .
Распределение освещенности дифракции плоской волны от щели [график функции (sinu/u)2] показано на рис. 6.28. На опыте легко заметить относительно слабые побочные максимумы. Эксперимент лучше всего проводить, используя излучение лазера, удовлетворяющее всем сформулированным выше основным условиям постановки задачи.
Соотношение (6.35) позволяет подробно исследовать зависимость ширины дифракционного максимума от линейных размеров отверстия (ширины щели Ь). Чем меньше щель Ъ, тем шире центральный максимум. Нетрудно заметить, что при Ъ « X центральный максимум расплывается на всю полуплоскость (вШф! « 1, т. е. фх « л/2). Дальнейшее уменьшение щели не имеет смысла, так как при этом будет наблюдаться монотонное уменьшение интенсивности прошедшего света. В опытах по дифракции света обычно используют щели, ширина которых Ъ » X, и, следовательно, угол дифракции ф1, соответствующий первому минимуму, значительно меньше п/2.
Мы условились пока не рассматривать роли размеров источника (пространственной когерентности в явлениях дифракции). Однако из сказанного выше можно сделать очевидный качественный вывод: чем уже щель, тем меньше должны сказываться размеры источника на распределении освещенности в дифракционной картине. Действительно, роль размеров источника света отчетливо проявится в том случае, когда суммарное уширение центрального максимума будет в основном обусловлено наложением дифракционных картин от различных участков источника света. Этот случай иллюстрирует рис. 6.29, где реальный источник условно заменен тремя точечными источниками, расположенными в его пределах.
