Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Калитеевский Н.И. -> "Волновая оптика" -> 103

Волновая оптика - Калитеевский Н.И.

Калитеевский Н.И. Волновая оптика — М.: Высшая школа, 1995. — 463 c.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка): volnovayaoptika1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 175 >> Следующая

В плоской монохроматической волне электромагнитное поле описывается уравнением
E(r,t) = Eo(r)exp(—tot),
где
Ео(г) = eexp(ikr) = eexp[ifeo«(sr)] . • (6.12)
В выражении (6.12) введен единичный вектор луча s = k/ft. Очевидно, что в изотропной среде
k = s = ns = k0ns.
К Aq
Но в самом общем случае монохроматического поля можно ввести новую функцию S(r), называемую эйконалом, которую мы будем считать конечной и непрерывной в данной области пространства.
Определим функцию S(г), записав
Ео(г) = e(r)exp[ife0S(r)] . (6.13)
На малых участках пространства можно разложить S(r) в ряд, ограничившись членами первого порядка:
S(r) = S о + r(dS/dr)0 = S0 + r(gradS)0.
При этом выберем начало координат внутри рассматриваемого участка пространства и значения (gradS)o и функции в(г) возьмем в начале координат. Тогда для амплитуды произвольной электромагнитной волны получаем
Е0(г) = e(0)exp(i*0S0) ехр [ife0(r gradS)] . (6.14)
е
271
В той области, где в разложении S(r) можно ограничиться членами первого порядка, зависимость амплитуды произвольной монохроматической волны от координат имеет такой же вид, как в плоской волне. Поэтому, сравнивая выражения (6.12) и (6.14), приходим к формулам, называемым уравнениями эйконала:
its = gradS, или (gradS)2 = /г2. (6.15)
Из этих выражений следует, что единичный вектор луча s можно вычислить по формуле
_ gradS
>l(dS/dx)2 + (dS/dy)2 + (dS/dz)2
Рассмотрим некоторые следствия выражений (6.15).
Если показатель преломления одинаков для всех точек области (п = const), то в такой оптически однородной среде лучи прямолинейны. В частности, одним из простейших решений уравнения эйконала будет линейная функция S = nia^x + а^у + «з2)> где ai, a.2, аз — направляющие косинусы, для которых справедливо соотношение a| + а| + а| = 1. Следовательно, такое решение (6.15) имеет две произвольные постоянные, т.е. получено уравнение плоскости. Это значит, что семейство нормалей в данном случае является системой параллельных лучей.
Решением (6.15) с одной особой точкой (при п = const ) является выражение S = пг, где г = Vx2 + у2 + . В этом случае
gradS = л/r и семейство нормалей представляет собой систему лучей, расходящихся из точки г = 0, ортогональных поверхностям равной фазы сферической волны.
Уравнение (6.15) позволяет определить, как искривляются световые лучи в оптически неоднородной среде. Для большей наглядности преобразуем его так, чтобы получить в явном виде зависимость кривизны луча от градиента показателя преломления.
Обозначим через dr (рис. 6.15) приращение радиуса-вектора г, проведенного из начала координат в некую точку на луче. Приращение дуги луча обозначим dl. Тогда dr/d/ = s, 6.15. к выводу вы- а уравнение луча ражения (6.16) из
уравнения эйконала /с лс\
п dt = grad®‘ (6.16)
Легко подсчитать, чему равна производная: ^ = Зг^ ЗГ =
- eradsgl.
272
Умножив обе части равенства (6.15) на gradS и сравнивая полученное выражение с исходным уравнением эйконала (6.15), замечаем:
-jff = п. (6.17)
d I
Это уравнение еще раз указывает, что в оптически однородной среде лучи света представляют собой семейство прямых линий. Простые выкладки позволяют получить более определенные соотношения. Продифференцируем по I уравнение луча (6.15):
gj (ns) = gj (gradS). Правая часть этого равенства легко преобразуется: gj (gradS) = gradg^ = grad л .Раскрывая производную в левой части равенства, имеем
d_ (вв)« dns+ nds f
где jf = gf gf= (gradn)s. Тогда
gf- = [gradл — s(sgradn)] .
Производная ds/dI = N/Д , где N — единичный вектор нормали к лучу, R — радиус кривизны луча. Очевидно, что (Ns) — 0. Умножив обе части (6.17) на N, получаем
_L = Ngradп . (6.18)
R п
Это равенство показывает, что луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления и кривизна луча возрастает с увеличением градиента показателя преломления, т.е. с увеличением оптической неоднородности среды.
Простой опыт иллюстрирует искривление лучей в среде с переменным показателем преломления. В кювету с плоскопараллельными окнами наливают глицерин, а затем воду. Через 2 ч между жидкостями образуется слой с переменным показателем преломления и можно наблюдать отчетливое искривление луча неон-гелиевого лазера, проходящего через кювету вдоль такого слоя. Пользуясь формулой (6.18), можно вычислить кривизну лучей в исследуемой среде, если известен закон изменения показателя преломления п(х, у, г).
Многие интересные задачи могут быть решены в очень простом приближении. Так, например, положим, что показатель прелом-
273
ления является линейной функцией одной координаты п = п(у) = = ло(1 + о.у). Тогда искривление луча, первоначально направленного вдоль оси X (рис.6.16), будет описываться цепной линией, которая при небольших значениях х хорошо аппроксимируется параболой у = V2a*2-
6.16. Траектория луча в среде с возрастающим вдоль оси У показателем преломления
6.17. Кажущееся S и действительное S положения Солнца, наблюдаемого с Земли
Показатель преломления воздуха: уменьшается с высотой
В рамках такого приближения может быть описано явление миража, при котором путник в жаркой пустыне «видит», например, воду, находящуюся от него очень далеко. В этом случае раскаленная земля создает неоднородность прилегающих слоев воздуха, плотность которого (а следовательно, и показатель преломления) возрастает с увеличением расстояния от поверхности земли.
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed