Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
3) Xt = - е, Х2 = е(и - 4)/(и + 8); (е/4(и + 8) К4,0);
4) Х2 = - е, Х2 = е(4 - и)/3и; (е/12 ХГ4 и, е(и - 4)/36 пКА).
225
Для каждой из этих точек указаны собственные значения Ьх' матрицы Ми. Длй
точек 1 и 2 условия устойчивости (36.4) не выполнены, тогда как для двух
других точек устойчивость зависит от величины п. При п < 4 устойчива
точка 3, а для п> 4 устойчива точка 4.
При п = 4 точки 3 и 4 оказываются вырожденными, причем одно из значений X
обращается в нуль. Для решения вопроса об устойчивости, в этом случае
следует выйти за рамки первого порядка по е . Учет членов порядка е 2
показывает, что при п = 4 оказывается устойчивой точка 4.
Итак, при п<3 устойчива точка 3, а при п > 4 устойчива точка 4.
Точка 3 гамильтониана (36.7) совпадает с неподвижной точкой гамильтониана
(35.41) изотропной модели, поэтому она часто называется гай-зенберговской
неподвижной точкой. Точку 4 называют кубической неподвижной точкой,
поскольку она отражает кубическую симметрию (анизотропного) предельного
гамильтониана.
Критический индекс v определяется описанным в § 35 способом из
рекуррентного уравнения для г:
г =Ь2{ г+ 4 [(n + 4)ut + Зи2] А(г)} ; (36.10)
отсюда в первом порядке по е находим
Хг = 2 - 4[(и + 4)и[ + Зи2 ] К4. (36.11)
Теперь по формуле (35.50) получаем индексы у, соответствующие
гейзенберговской ("<3) и кубической (п > 4) неподвижным точкам:
v = 1 /2 + е(п + 2)/4(и + 8 ) + . .. (й < 3); (36.12)
v = 1 /2 + е(и - 1)/6и + . . . (п> 4). (36.13)
Таким образом, при п < 3 критическое поведение нашей анизотропной системы
совпадает с поведением изотропной системы. При включении кубической
анизотропии в случае п > 4 критическое поведение становится иным.
Эти результаты были обобщены в работе [12], где показано, что изотропная
неподвижная точка всегда устойчива при п < 3 и неустойчива при л > 4 по
отношению к любому анизотропному взаимодействию ~ т?4. Иначе говоря, при
п < 3 критические индексы не зависят от наличия анизотропии, а для и > 4
зависят.
Заметим, что при п < 3 в системе с кубической анизотропией симметрия
предельного гамильтониана в неподвижной точке, отвечающей точке фазового
перехода, становится выше. Она совпадает с симметрией гамильтониана
изотропной модели и описывается группой вращений. Такое повышение
симметрии системы в критической точке получило название асимптотической
симметрии [1]. Примеры асимптотической симметрии еще встретятся ниже.
Примеры систем с многокомпонентными параметрами порядка. В работах [13-
15] исследуется большое количество фазовых переходов с числом компонент
параметра порядка п > 4. Мы приведем некоторые из них для иллюстрации
роли различного рода анизотропных взаимодействий на критическое
поведение.
Рассмотрим прежде всего структурный фазовый переход в Nb02 с изменением
симметрии P42lmnm -+I4i/a [16]. Элементарная ячейка при этом
226
возрастает в 16 раз, а возникающая диссимметричная фаза описывается
волновым вектором к = (Ул,Ул, 'Л). Он принадлежит четьфехлучевой звезде
{к9} с лучами
kt = (К,Й,Й), к2 Н%7'/л7Ъ),
к3 =(54,14,%), *4=С4,Й,И).
Диссимметричная фаза характеризуется одномерным НП группы G*. Таким
образом, фазовый переход происходит по четырехмерному представлению
исходной пространственной группы, так что п = 4. Для данного НП можно
составить три инварианта четвертой степени; при этом фазовый переход
описывается гамильтонианом
Я = / ddx\\- Б [rv{ + (Vrjx)21 + uj (т?1 + tj! + vi + V%) +
' L \ - t
+ "2 0?i vl + vl vl) + M3(r?i vl + vlvl + vl vl + vl vl )j . (36.14)
Рассмотрим другой пример - магнитный фазовый переход в К21гС16
(пространственная группа Fm3m) с образованием антиферромагнитной
структуры типа 111 [17]. Эта структура описывается лучом кх шестилучевой
звезды {Л8} :
.*.=04,0,1), к2 =(1,54,0) , *3=(0,i,)4),
*4=(Й,0,1), *5=(1,Й,0), *6=(0,1,Й).
Удвоение магнитной ячейки происходит вдоль оси х, в этом же направлении
лежат атомные спины, так что магнитная структура описывается одномерным
представлением группы G*. Фазовый переход, следовательно, характеризуется
шестимерным представлением пространственной группы, т.е. п = 6.
Соответствующий гамильтониан Гинзбурга - Ландау имеет вид
H = fddx{~^ _Б N? + (Vi?x)Jl + и i (tj? +vi + ... + vi) +
+ иг (г?, vl + Vl Vs + vl Vl ) * "з 0?? vl + Vi vl + vl vl + vl Vs + vl
vl +
+ vl vl + vl vl + vl vl + vlvl + VsVl + vl vl +1?! vl )} • (36.15)
Оба гамильтониана (36.14) и (36.15) можно записать в единой форме, если
переобозначить компоненты параметра порядка. Например, для п = 4 вместо
{р., т?2, Vi, V*} писать {Vi, V2>Wi, V2} и т.п. Тогда выражения (36,14) и
(36.15) получаются из обобщенного гамильтониана для 2/и-компонентного
параметра порядка:
J |1 m - т
H=~fddx\ - Б [/-(rtf+ T?D+(v%)2 +(VT&)2] +И, Б (vl +~vi) +
'2 S=\ s- 1
mm \
+ "2 Б Vs Vs + из . Б (vlvl' + vl vl' +~vl vl' +vl Vl') | (36.16)
i=l s<s'
с m = 2 и 3 соответственно.
Таблица 9.1
Неподвижные точки преобразований ренорм-группы гамильтониана (37.16) (и *
