Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Изюмов Ю.А. -> "Фазовые переходы симметрия кристаллов" -> 95

Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.

Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы симметрия кристаллов — М.: Наука, 1984. — 245 c.
Скачать (прямая ссылка): siromyatnikovfazovieperehodi1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 107 >> Следующая

Яо/Ь
Уравнения ренорм-группы существенно зависят от размерности пространства.
Вильсон предложил исследовать их вблизи выделенного значения d = 4,
считая формально параметр е малым, и раскладывать по нему, а затем в
полученных результатах полагать 6=1, что соответствует размерности
фазового пространства d = 3. Такое разложение является асимптотическим. В
первом порядке е-разложения из выражений (35.32) и (35.33) следует
A(r)= К4 [q% (1 - b~2)/2 - г In Ь], (35.36)
B(r,r) = K4 \пЬ. (35.37)
Прежде чем исследовать уравнения ренорм-группы (35.30) и (35.31) при
малых е, запишем их при некотором частном, но весьма распространенном
виде термодинамических потенциалов, составленных только из квадратов
компонент параметра порядка. Пусть
u\pttv = и\ц &\p&pv + и\р Spv + и\р йрц- (35.38)
Такое трехчленное выражение для u\pflv обеспечивает требуемую симметрию
относительно всехиндекоов. В этом случае основные уравнения (35.30)
221
и (35.31) приводят к следующим уравнениям [9]:
г'х = Ь2{гх + 8иххА 0гх) + 42иХаА (га)}, (35.39)
О
Л_Я". UppoVp,rpj
Л
и\р = Ье {иХр - 8иххиХр В (гх,гх) - 8иХр иРр В (гр,Гр)
- 16 uip В (гх, Гр) - 4 2 мХо иар В (га, га)) . (35.40)
О
Эти уравнения удобно использовать для анализа фазовых переходов в
конкретных системах.
Изотропная модель. Простейший гамильтониан для "-компонентного параметра
порядка
H = fddx{Z [rnl+iWx)2] +u(Znlf} (35.41)
X Л.
описывает изотропную (гайзенберговскую) модель. Это - одна из частных
форм гамильтониана (35.11), отвечающая следующей форме потенциала: 1
uXppv~ и ($хр ^itv ^Хр Spv (r)рд)- (35.42)
Уравнения ренорм-группы (35.39), (35.40) после вьшолнения суммирования по
индексу о сводятся к уравнениям
г' = Ь2 {г + 4 (и + 2) А (г) и}, (35.43)
и' = Ье{и-4(п + 8)В(г,г)и2} . (35.44)
Определим прежде всего неподвижную точку (г*, и*) на плоскости (г, и)
параметров гамильтониана. Согласно определению (35-18) она находится из
системы уравнений
г* =Ъ2{г* + 4 (п + 2) А (г*) и* },
(35.45)
и* =Ье{и* -4(л+8)5(г*, г*)и*2}.
Кроме тривиального решения г * = и * = 0 (гауссова неподвижная точка),
уравнения имеют и другое решение. Для получения его следует подставить в
(35.45) выражения (35.36) и (35.37). В первом порядке по е тогда
и + 2 а%
г* = - е - , и* =е [4К4 (п +8)р. (35.46)
л + 8 2
Эту неподвижную точку называют изотропной или гайзенберговской. Малость е
означает и малость эффективного взаимодействия флуктуаций в окрестности
точки, чем и оправдывается описанная теория возмущений, т е. возможность
обрыва эффективного гамильтониана на членах 1? 4.
Для исследования вопроса о стабильности изотропной неподвижной точки
линеаризуем рекуррентные соотношения (35.43) и (35.44) в окрестности этой
точки. Линеаризованные уравнения можно представить в виде
Аг'=Ьх'Аг, (35.47)
Аи' = ЬхиАи, (35.48)
222
где Аг = г - г *, А г - г' - г* я т.д. Величины X, и Хц определяются из
соотношений
Ьхг = b2 (1 - е In b (и + 2)/(и + 8)), bXu = 1 - е In b,
откуда в первом порядке по е имеем
Хг = 2 - е (и + 2)/(и + 8), Х" = - е.
(35.49)
Отрицательное значение Х" означает, что при многократном преобразовании
гамильтониана Дм'-> 0, т.е. параметр эффективного взаимодействия
стремится к своему значению и* в неподвижной точке. Изотропная точка
является, таким образом, стабильной. Что касается первого уравнения
(35.47) ренорм-группы, оно показывает расходимость величины Аг' под
действием преобразований ренорм-группы, так как b > 1 и Х" > 0. Согласно
аргументам Вильсона [5], это связано с расходимостью корреляционной длины
в точке фазового перехода Тс. Величина Хг определяет критический индекс v
корреляционной длины посредством соотношения [6]
значения могут быть найдены во втором порядке по е , и для этого
необходимо дополнить уравнения ренорм-группы (35.43) и (35.44) членами
следующего порядка по взаимодействию и. Это дает
Легко проверить, что гауссова точка оказывается неустойчивой для
гамильтониана (35.41); таким образом, критическое поведение системы
действительно описывается изотропной неподвижной точкой (35.46).
Формулы (35.51) и (35.52) показывают, что критические индексы зависят
лишь от числа компонент параметра порядка и размерности пространства и
совершенно не зависят от величины затравочного взаимодействия. Это и
подтверждает универсальный характер критического поведения.
В заключение отметим, что рекуррентным соотношениям ренорм-группы можно
придать форму дифференциальных уравнений. Рассмотрим, в частности,
уравнение (35.44) для параметра взаимодействия. Будем считать, что
величина Ь, на которую наложено единственное условие b> 1, мало
отличается от 1, и выберем ее в виде Ъ =ехрТ. Учитывая малость
е,преобразуем уравнение (35.44) с точностью до членов порядка е2 к виду
где производная du/dt возникла от выражения (и' - u)/t при t -* 0.
Величина /, характеризующая интервал интегрирования по коротковолновым
флуктуациям водном преобразовании ренорм-группы, играет роль времени.
Условие стационарности решения du/dt = 0 и определяет неподвижную
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 107 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed