Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
_________________Г Л А В А 9
ФЛУКТУАЦИИ И СИММЕТРИЯ
§ 35. ОСНОВЫ ФЛУКТУАНИОННОЙ ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
Критические индексы. Особенности термодинамических величин в окрестности
фазового перехода характеризуются так называемыми критическими индексами,
описывающими степенную зависимость их от температуры t = T-Tc.
Критические индексы вводятся для восприимчивости х. теплоемкости С,
параметра порядка т\ и др. и определяются из соотношений
C~t~a, тi-t?. (35.1)
Первые два индекса определены для температур выше и ниже Тс, индекс &
определен, очевидно, только для Т < Тс.
Кроме индексов для термодинамических величин вводятся индексы,
характеризующие поведение корреляций параметра порядка в неупорядоченной
фазе и в самой точке фазового перехода. Предполагается экспоненциальное
убывание корреляций при Т>ТС и степенное при Т=ТС:
<П(р)т,(г)>~е-г/* (Т> Те), (35.2)
<7?(0)n(r)>~r-d+2-T) (Т- Тс) (35.3)
(d - размерность пространства).
Величина % - корреляционная длина - неограниченно возрастает при Т = Тс и
характеризуется критическим индексом v:
(35.4)
Соотношение (35.3) определяет еще один индекс корреляционной длины -
индекс Фишера ц.
Теория фазовых переходов Ландау, изложению которой были посвящены
предыдущие главы книги, интересуется главным образом анализом
диссимметричных фаз. В области неупорядоченной фазы (Т> Тс) описание
системы, допускающей только флуктуации параметра порядка, ведется в этой
теории на основе простого гамильтониана
Но = fddx {гт}2 +c(Vn)2}> 4 (35.5)
учитывающего лишь сам факт существования флуктуаций - неоднородного
распределения параметра порядка, и игнорирующего взаимодействие их друг с
другом. Статистическое усреднение с гамильтонианом Но приводит к
следующему выражению для фурье-компоненты корре-
215
лятора <tj (0) г] (r)>:
<i?(?)i?(-?)>~(r + c^2)_1.
(35.6)
Обратное преобразование Фурье приводит к экспоненциальной форме
(35.2), где ? ~г_%. Поскольку г ~ (Т-Тс), это дает ? т.е.
критический индекс и = 1/2. Индекс т? оказывается в этой теории равен
нулю.
Теория Ландау, использующая нулевое приближение по взаимодействию
флуктуаций параметра порядка, приводит к следующим значениям основных
критических индексов:
7=1, а = 0, /3 = 1 /2, v =1/2, ц = 0. . (35.7)
В шестидесятые годы было обнаружено, что эксперимент и численные расчеты
на различных моделях дают существенное отличие критических индексов от
значений, следующих из теории Ландау. Анализ большого количества систем
привел к идее об универсальности фазовых переходов в том смысла, что
критические индексы не зависят от интенсивности взаимодействий в системе
и деталей ее микроскопического устройства, а определяются скорее числом
компонент параметра порядка и размерностью пространства.
Еще до создания к началу 70-х годов современной теории фазовых переходов,
учитывающей сильное взаимодействие флуктуаций вблизи 7'с, подтверждающей
идею универсальности и открывающей возможность приближенного и
последовательного вычисления критических индексов, была феноменологически
установлена связь, позволяющая выразить все индексы через какие-нибудь
два индекса. Наиболее фундаментальными считают корреляционные индексы v и
т?. Эти соотношения подобия [1] возникают благодаря тому, что вблизи Тс
корреляционная длина ? неограниченно возрастает и является самой большой
из всех величин размерности длины, характеризующих систему. Их можно
получить из требования масштабной инвариантности Паташинского и
Покровского [1], либо из независимого построения Каданова [2]. Последнее
заключается в том, что вблизи Тс, где ? > а (а - параметр решетки),
исходную систему спинов на узлах решетки можно заменить решеткой из
блоков спинов, и при этом ВИД гамильтониана не должен измениться. Эту
процедуру укрупнения блоков можно повторять, пока размер их не совпадет с
корреляционной длиной, но она неограниченно возрастает по мере
приближения Т к Тс.
Приведем некоторые из соотношений подобия:
d - 2 +т) = 2/3/г, dv+a = 2, у = (2 - rj)v,, * (35.8)
из которых видно, что критические индексы должны существенно, зависеть от
размерности пространства. Нетрудно убедиться, что индексы Ландау (35.7)
для реального пространства d = 3 не удовлетворяют этим соотношениям,
однако для пространства <7=4 - удовлетворяют. Это сразу указывает на
выделенный характер размерности пространства d = 4. И действительно,
современная теория. [3] показывает, что при <7 = 4 критические индексы
системы те же, что и для системы с невзаимодействующими флуктуациями. Это
обстоятельство позволяет исполь-
216
зовать специфическую теорию возмущений, в которой в качестве нулевого
приближения используется критическое поведение систем в четырехмерном
фиктивном пространстве, а затем совершать непрерывный математический
переход к пространству меньшей размерности.
После общего изложения основ современной теории критических явлений мы
рассмотрим детально роль взаимодействия флуктуаций в описании фазовых
