Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если она лежит между сепаратрисами 1-3, 3-2 и кривой 1-4-2, фазовый
переход будет второго рода с тетракритической точкой на фазовой диаграмме
[26]. За пределами этой части области достижимости точки 4, в окрестности
пересечения линий фазового перехода rt = = 0 и г2 = 0 возникают участки
на этих линиях, соответствующие фазовым переходам первого рода [26].
Очевидно, размер этих участков определяется размером критической области,
в которой существенно взаимодействие флуктуаций. За пределами критической
области структура фазовой диаграммы дается предсказаниями теории среднего
поля. Напомним, что внутри области, ограниченной эллипсом, имеется
тетракритичес-кая точка, за пределами эллипса - бикритическая точка.
Отметим в заключение, что изложенные результаты относились только к
случаю и = т - 1. В общем случае фазовая плоскость будет несимметричной,
а устойчивая неподвижная точйа не обязательно будет изотропной. В каждом
конкретном случае анализ фазовой диаграммы следует делать отдельно.
Критическое поведение фазовых переходов в ряде кристаллов, описываемых
гамильтонианом (38.2) при учете кристаллической анизотропии, было изучено
аналогичным образом в работе [28].
Переходим теперь к исследованию роли флуктуаций в других особых точках
фазовых диаграмм.
Трикритическая точка определяется как точка на линии фазовых переходов,
где фазовые переходы второго рода сменяются на переходы первого рода
(рис. 9.4). В бикритической и тетракритической точках сходятся
соответственно по две и четыре линии фазовых переходов второго рода. В
трикритической точке сходятся три таких линии [29, 30]. Это можно увидеть
лишь на фазовой диаграмме в пространстве трех переменных, где наряду с Г
и термодинамической. силой X следует рассмотреть еще
236
одну термодинамическую силу Y. Пример системы, с двухкомпонентным
параметром порядка, допускающей существование трикритической точки, был
описан в § 25. На рис. 7.8, дающем фазовую диаграмму, видно, что в
трикритической точке действительно сходятся три линии фазовых переходов
второго рода.
Простейшая система, в которой проявляется ситуация, изображенная на рис.
9.4, описывается потенциалом (§ 25)
Ф=гт?2 +ит?4 +П)6 - т"У. • (38.15)
При и > 0 этот потенциал описывает фазовый переход второго рода, при и <
0 - первого рода, так что трикритическая точка определяется двумя
уравнениями
r(Tt, Ff) = 0, u(Tt, Г,) = 0. (38.16)
Анализ флуктуаций в трикритической точке может быть проделан с помощью
метода ренорм-группы [31]; при этом ясно, что ввиду равенства нулю в этой
точке коэффициента при четвертой степени по т? необходимо учитывать член
шестой степени по г) и писать рекуррентное соотношение для коэффициента
v. Во втором порядке по члену щ6 в рекуррентное соотношение для v войдет,
очевидно, величина
¦)(c)(=/[ (38Л?)
где интегрирование ведется в интервале импульсов b~lq0 <Qi, Яг < Яо-Для
оценки этого интеграла следует перейти в сферическую систему координат
для векторов Я\ я Яг, а затем при интегрировании по модулям Я\ и Яг
ввести полярную систему (д\ = flcosfi, Яг ~ <zsin0). Тогда в 2d-мерном
интеграле (38.17) выделится интеграл по переменной Я, так что
(38.18)
где интегрирование ведется в интервале Ъ~1 Яо <Я<Яо¦ Отсюда видно, что
при d = 3 имеется логарифмическая расходимость на длинноволновом пределе
(интеграл пропорционален Inb), а при d> 3 интеграл сходится.
Рис. 9.4. Фазовая диаграмма . с трикритической точкой.
Таким образом, d= 3 является для трикритической точки критической
размерностью, выше которой поправки в энергию от взаимодействия
флуктуаций конечны, и критическое поведение в этой точке описывается
классическими оценками теории Ландау.
Размерность реального пространства попадает на верхнюю критическую
размерность d = 3. В этом пограничном случае критические индексы не могут
измениться за счет взаимодействия флуктуаций, но ко всем температурным
степенным зависимостям появляются мультипликативные логарифмические
добавки [31]. ,
237
Точка Лифшица- Рассмотрим теперь критическое поведение системы, имеющей
на фазовой диаграмме точку Лифшица. Эта точка лежит на линии фазовых
переходов порядок-беспорядок и характеризуется тем, что однородная фаза
сменяется модулированной фазой с волновым вектором модуляции, равным нулю
(рис. 8.2). Гамильтониан системы, допускающей существование такой точки,
может быть выбран в виде [32]
Я = /<fdxj^-n?2 + ~-7(V/T?)2 +y04V^)2 +~5(vcr?)2 +мт?4| , (38.19)
где t? = {tji,...,tj"} - и-компонентный параметр йорядка. Здесь
предполагается, что все d-мерное пространство может быть разбито на два
сектора: в одном из них, размерности т, характеризуемом индексом I, лежат
волновые векторы модуляции, в другом, размерности d-m, характеризуемом
индексом с, волновых векторов модуляции нет.
Гамильтониан (38.19) является обобщением термодинамического потенциала
Михельсона (30.1), записанного для однокомпонентного параметра порядка и
d = 1. (Как обычно во флуктуационной теории фазовых переходов, перед
