Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
неподвижной точки. В то же время эксперимент не показал, что имеет место
фазовый переход первого рода: параметр порядка уменьшается с температурой
непрерывно, гистерезиса нет, однако не обнаружено и критического
рассеяния, необходимого для того, чтобы фазовый переход считался
переходом второго рода. Физическая природа наблюдаемого магнитного
фазового перехода остается пока невыясненной.
Как показывает конкретный анализ [19-21], отсутствие устойчивых
неподвижных точек является характерным явлением для систем с большим
числом v независимых инвариантов четвертого порядка (а следовательно,
большим числом и). Однако, как показано в работе [25] к гл. 1, имеются
примеры систем с большим числом инвариантов v > 3, в которых существует
устойчивая неподвижная точка и, следовательно, нет топологических
ограничений на ее существование в общем случае. Следует также отметить,
что в этой же работе получен весьма сильный результат: при числе
компонент параметра порядка и >4 имеется только одна устойчивая
неподвижная точка (если она существует) . Она отвечает фазовомупереходу
второго рода, причем симметрия гамильтониана в этой точке выше симметрии
самой системы и описывается группой SO (и).
§ 38. ФЛУКТУАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ МУЛЬТИКРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК
Системы со связанными параметрами порядка. Бикригическая и тет-
ракритическая точки. В § 20 в рамках приближения среднего поля
рассматривалась задача о двух взаимодействующих параметрах порядка г? и
|. Коэффициенты гх и г2 при членах г)2 и |2 в термодинамическом
потенциале зависят от температуры Т и некоторых параметров X, например
давления, концентрации и т.д. Две линии фазовых переходов второго рода,
определяемые уравнениями
Гг(Т,Х) = 0, г2(Т,Х)= 0, (38.1)
могут пересекаться в некоторой точке (ТС, ХС), в окрестности которой
существенно взаимодействие между подсистемами, описываемыми величинами г?
и |. Как мы видели, в зависимости от величины взаимодействия между
подсистемами возникает два различных типа фазовых диаграмм - с
тетракритической точкой и бикритической, не допускающей сосуществования
фаз с 7)^0 и (рис. 9.1). Флуктуации могут сущест-
венно повлиять на характер фазового перехода в окрестности точки
пересечения (Тс, Хс) и привести к другим типам фазовых диаграмм.
Исследуем критические явления в системе связанных параметров порядка на
примере гамильтониана весьма общего вида:
H = fddx{A[rlr)2 + r2|2 + (w)2 + (V|)2] +ut т?4 +u214 + 2m3i?2|2}
(38.2)
232
Пусть tj = {т?!,..., iin) - "-компонентный параметр, а | =. { ,..., |т }
-
m-компонентный параметр и принадлежат они двум различным НП размерности
пит. В этом гамильтониане отсутствует анизотропия, что дает возможность
проследить зависимость критического поведения исключительно от чисел п я
т. Полный анализ проблемы фазового перехода в такой системе был проделан
в работах [26] и (независимо с помощью техники ренорм-группы Вильсона) в
[27]. Учитывая принципиальный характер этого примера, воспроизведем
основные этапы анализа.
Р и с, 9.1 .Фазовые диаграммы с бикритиче-ской (а) и тетракритической (б)
¦ точками в теории Ландау.
\ у
X
г)
Будем полагать, что величины гх и г2 обращаются в нуль в общем случае при
различных температурах (которые, в частности, могут и совпадать), так что
параметры порядка могут флуктуировать по-разному, и необходимо произвести
независимую перенормировку их с помощью величин z! и z2 (см. второе из
соотношений (35.16)) :
v(q)-*zrlT}(q), %{q) = -*z? %(q).
Общие уравнения ренорм-группы (35.39) и (35.40) для гамильтониана (38.2)
сводятся к следующей системе:
r\ = z\b~d {гх + 4(и + 2)А(гх)их +4тА(г2)и3) , (38.3)
?г = z2 b~d { r2 + 4 (т + 2 )A(r2)u2 + 4пА (rx)u3} ;
ui = z\ b~3d { ux - 4[(и + 8)н? + mu\) /С41пб),
u2= z\b~3d {u2 - 4[(w + &)u2 + nu\\K4lnb) , (38.4)
из =z\ z\b~3d{ u3 - 4[(" + 2)uxu2 + (m + 2)u2u3 + 4и\]Кл\пЬ) .
Пусть мы находимся вдали от точки пересечения линий фазовых переходов гх
= 0 и г2 = 0, но вблизи линии г, = 0. В этих условиях Параметр порядка т?
сильно флуктуирует, тогда как флуктуации ? малы. Для сильно
флуктуирующего параметра мы должны выбирать общую нормировку (35.23),
т.е. полагать zx = b1+d/2. Первое из уравнений (38.3) в нулевом
приближении по взаимодействию приводит к соотношению r\ = Ь2гх. В то же
время г2 должен оставаться не перенормированным (г'2 =г2), что
достигается выбором z2 = bd!2. При таком выборе zx яг2 рекуррентные
соотношения имеют структуру
м/ ~b4-d, и2 ~b~d, и3 ~ b2~d. (38.5)
При d = 4 - е последние два соотношения приведут после многократных
повторений ренорм-групповой операции к нулевому значению и2 и м'3; таким
образом, из трех уравнений (38.4) в пределе остается одно
и[ = be {Ui - 4(и + 8)и2 Ktinb } . (38.6)
233
Таблица 9.3
Неподвижные точки для системы двух связанных параметров порядка,
описываемой гамильтонианом (38.2) {ир - в единицах 4К,1е)
N * * * "з (х, У)
0 0 1 0 0 е е е 6 -
1 и + 8 0 1 0 -е е € и + 8 6 (1,0)
2 0 0 (-1,0)
