Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
квадратичными членами в гамильтониане ставится коэффициент 1Л).
В точке Лифшица
r(TL,XL) = 0, y{TL,XL)= 0, (38.20)
поэтому следует учитывать член с квадратом второй производной по
координатам сектора I и считать /3 > 0.
В импульсном пространстве гамильтониану (38.19) отвечает выражение
Н = "• Id'V(<?M<?) т?(-<7) +
+ ufddq1 . . .ddq4S(qi + ... + <7 4 ) (я(^? i )т? (Яа ))0? (Я з )я (Я-
*)), (38.21)
в котором
v(q) = r+yq2+^ + 8q2. (38.22)
Здесь q{iiqc - модули вектора q, если он принадлежит сектору / и с
соответственно, так что
q)= Zq2a,ot = 1,... ,m,q2c = l,q2a (a =m + 1,... ,d). (38.23)
a a
С помощью описанной в § 35 техники запишем уравнения ренорм-группы для
гамильтониана (38.21) вблизи точки Лифшица (7=0). При этом следует
учесть, что скэйлинговские параметры, меняющие масштаб в шкале импульсов
(см. первое из соотношений (35.16)), должны быть независимыми для
импульсов из сектора си/; назовем их b и с соответственно. Вместо
рекуррентных соотношений (35.43), (35.44) для и-ком-понентной векторной
модели* теперь будем иметь [32-34]
v {q) = z2a~mb~(d~m>> {r + Sql/b2 + yq2la2 + /3^/а4 + 4(n + 2)uA(г)) ,
(38.24)
и' = z*a~3mb~3('d~m) {и - 4(и + 8)u2B(r, г)}. (38.25)
238
Распорядимся параметрами а и b таким образом, чтобы члены с q2c и q*
оставались инвариантными. Это приводит к уравнениям
z2a-mb-V-m'>b-2 = l, z2a~mb~^d~m^a~4 = 1, (38.26)
из которых находим
Ь = а2, z = 6d/2+1_m/4 (38.27)
Из уравнений (38.24) и (38.25) следуют уравнения, дающие перенормировку г
и и:
г' = Ъ2. (г + 4(и +2)иА(г)} , (38.28)
и' - Ье {и - 4(и + 8)и2В(г, г)}. (38.29)
Здесь введены обозначения интегралов
A(r)=fddqv-'(.q), B(r, r) = Sddqv~2(q), (38.30)
в которых интегрирование ведется по импульсам: b~x q0 < qc < qo и a~lq0 <
<4/ < ?о. а также обозначено
е = 4 + m/2 - d. (38.31)
При е < 0 последовательное применение рекуррентного соотношения
(38.29) приводит к тому, что в неподвижной точке и* = 0. Таким
образом, при размерности пространства d > 4 + m/2 неподвижная точка
является гауссовой, и критическое поведение системы будет классическим,
т.е. совпадать с предсказаниями теории среднего поля. Критическая
размерность пространства для системы в точке Лифшица оказывается 4 + +
т/2 вместо 4 в обычной ситуации. При d, меньшем критического значения,
е>0, и неподвижная точка уравнений (38.28) и (38.29) может быть выделена
в первом порядке по параметру е, который будем полагать малым.
Интегралы (38.30) могут быть оценены при малых значениях г, т.е. вблизи
критической точки. Имеем при малых е
А(г) = А(0)-гВф,0), (38.32)
B(0,0)~Kdm f° q-e~ldq*Kdm\nb, (38.33)
Ь~х Я о
где Kdm ъ KmKd_m/2l2Kmi2. Величины Кп даются формулой (35.34). Легко
видеть, что при т= 0 Kdm =К4, и мы получаем известный результат (3537)
теории в пространстве 4 - е.
Рекуррентные уравнения (38.28) и (38.29) определяют устойчивую
неподвижную точку:
г* = - eq20 (и + 2)12(п + 8), м* = фКат(п + 8), ч (38.34)
совпадающую по форме с гайзенберговской неподвижной точкой (35.46) для d
= 4-е. Вблизи неподвижной точки уравнение (38.28) можно представить в
стандартной форме
г -г* =Ьхг(г-г*) (38.35)
либо, если учесть соотношение b = а2, в форме
г' - г* = д2 х'(г -/¦*), (38.36)
Xr= b2 {1 - е[(и + 2)/(и + 8)] 1пй}. - (38.37)
239
.Из уравнений (38.35) и (38.36) следуют выражения для критических
индексов корреляционной длины и ?/
vc = lj\r = Vi + е(п + 2)/4(и + 8) . . ,., (38.38)
Vi = 'АХ, = % + е(и + 2)/8(" + 8) + . .. (38.39)
Величина %с характеризует корреляции флуктуаций в секторе с d-мерного
пространства, а - в секторе I ¦ Таким образом, критические индексы v для
корреляций в направлениях, где возникает модулированная фаза,и в других
направлениях отличаются вдвое.
Наличие двух корреляционных длин является отличительной чертой
критического поведения в точке Лифшица. Обычная корреляционная длина
характеризуется критическим индексом vc, по форме совпадающим с v для "-
компонентной векторной модели (ср. формулы (38.38) и (35.51)). Разница
этих выражений заключается в различном определении параметра е. Для точки
Лифшица критическая размерность 4 + mj2 и в случае модуляции в одном
направлении т = 1 равна 4,5. Для реального пространства параметр е = 1,5
не является, к сожалению, малым, тем не менее экспериментальное изучение
критического поведения в точке Лифшица представляет большой интерес для
проверки изложенной теории. Экспериментальные данные по мультикритическим
точкам содержатся в обзоре [35].
ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВЕ I
1.Ландау ЛД. - ЖЭТФ, 1937, т. 7, с. 18; т. 7, с. 627.
2.Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. I. - М.: Наука, 1976.
Ъ.Лифшиц Е.М. - ЖЭТФ, 1941, т. 11, с. 255; т. 11, с. 269.
Л.Лифшиц Е.М. - ЖЭТФ, 1944, т. 14, с. 353.
5.Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. - М.: Физматгиз,
1957.
6 Дзялошинский И.Е. - ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 992.
7 Дзялошинский И.Е. - ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 1352.
8 Дзялошинский И.Е. - ЖЭТФ, 1957, т. 32, с. 1547.
9.Инденбом В.Л. - Изв. АН СССР, сер. физ., 1960, т, 24, с. 1180.
