Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
(35.50)
v= 1 /2 + е (и + 2)/4 (и + 8) + ...
(35.51)
Критический индекс Фишера rj равен нулю в этом приближении. Его
т) = е2 (п + 2)/2 (и + 8)2 +...
(35.52)
du/dt = - ей - 4 (п + 8) ХГ4 и2,
(35.53)
223
точку и * (35.46). Решение дифференциального уравнения дает траекторию,
начинающуюся из начальной точки, отвечающей значению и в затравочном
гамильтониане при / = 0 и неподвижной точке при t -* 00 (при бесконечном
числе преобразований ренорм-Труппы).
§ 36. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СИСТЕМ
Универсальные классы. В анизотропных системах, каковыми являются
кристаллы, гамильтонианы с многокомпонентными параметрами порядка
содержат несколько инвариантов четвертой степени и характеризуются,
следовательно, несколькими константами взаимодействия ир (р = 1,... ...,
Р). Под действием операций ренорм-группы все они перенормировы-ваются и
характеризуются константами взаимодействия и'р. Систему рекуррентных
соотношений, следующих из общих уравнений (35.31) или
(35.40), можно записать символически в виде
u'=f(u), - (36.1)
где и, и' - .Р-компонентные столбцы, составленные из величин ир.
Неподвижная точка преобразований определяется из уравнения
и* = /("*)> (36.2)
а линеаризованное уравнение ренорм-группы (36.1) вблизи неподвижной точки
можно всегда записать в матричном виде:
(и - и*) = Ми(и - и*), (36.3)
где Ми - матрица размера Р X Р, зависящая только от числа компонент п
параметра порядка, е (размерности пространства) и числа Ь-
Преобразования ренорм-группы ''двигают" в пространстве параметров
гамильтониана точку(и!, и2,... ,иР} , характеризующую исходный
гамильтониан, по траектории, задаваемой уравнением ренорм-группы (36.1).
В общем случае эта траектория приходит либо в некоторую стабильную
неподвижную точку (если таковая есть), либо уходит за границы
устойчивости гамильтониана Гинзбурга - Ландау. Эту последнюю возможность
мы обсудим в следующем параграфе.
Изотропная модель, как мы видели, имеет одну устойчивую неподвижную точку
и*, и все траектории, начинающиеся при любом заданном и, приводят к и*. В
общем случае это не так. Система в принципе может иметь несколько
устойчивых точек, каждая из которых достижима в пределах некоторой
области параметров гамильтониана (''домена"). В другом ''домене" может
быть своя стабильная неподвижная точка. Поскольку критическое поведение
системы определяется стабильной неподвижной точкой, оно будет одинаковым
для всех систем, соответствующих данному ''домену". Говорят, что все
системы, описывающиеся гамильтонианом с параметрами, лежащими в пределах
одного ''домена", принадлежат одному универсальному классу. Это есть
обобщенное понятие универсальности для фазовых переходов второго рода. В
пределах данного ''домена" критические индексы действительно не зависят
от величины параметров гамильтониана.
224
Устойчивость неподвижной точки определяется собственными значениями
матрицы Ма. Необходимо, чтобы все они были меньше единицы. Удобно
собственные значения представить в виде Ъх', тогда условие стабильности
состоит в требовании
Х,<0 (i = l,... ,/*)- (36-4)
Индекс корреляционной длины v определяется через перенормировку параметра
г. В общем случае, если переход идет по приводимому представлению,
имеется несколько параметров ги (и-номер НП), поэтому соответствующее
линеаризованное уравнение ренорм-группы является матричным :
(/¦' -/¦*) = Мг (г - /¦*). (36.5)
Здесь г,г'яг* являются столбцами, составленными из всех компонент г",гМг
- соответствующая - матрица. Обозначим ее собственные значения через ЬКг,
причем все Хг > 0. Критический индекс v определяется максимальным из них
[10]:
v = (max Xr)_l. (36.6)
Изложение общего подхода закончим замечанием о принципиальном значении
понятия /-группы для анализа критических явлений в кристаллах. Как мы
видели раньше, различные фазовые переходы в кристаллах, идущие по разным
НП (но одной размерности!), могут иметь одинаковые /-группы и
характеризоваться одним и тем же гамильтонианом Гинзбурга - Ландау. Все
они, согласно изложенному, должны иметь одинаковое критическое поведение
'(одинаковые критические индексы). В этом смысле аппарат /-групп является
математическим аппаратом теории универсальности фазовых переходов в
кристаллах.
Ниже мы проиллюстрируем универсальное поведение фазовых переходов на
нескольких примерах, а сейчас обсудим роль анизотропии в простейших "-
компонентных моделях.
Кубическая анизотропия. Исследуем, как меняется критическое поведение
изотропной "-компонентной модели при добавлении в гамильтониан
(35.41) члена кубической симметрии. Для гамильтониана
Н = / 2 [п& + (Vr)l )2 ] + м. (2 vl)2 + "2 S } (36.7)
уравнения (35.40) ренорм-группы сводятся к следующей паре уравнений [И]:
и[=Ье{и1 -4[(и + 8)м2 +6m,m2] К* In b},
"2= be {м2 - 4 [(12н,м2 + 9u\ ] K4 In b}. (36.8)
Они имеют четыре неподвижных точки (м*, и*), для которых соответ-
ственно
1) Х2 =;Х2 = е; (0,0);
2) X, = е/3, Х2 = - е; (0, е/36 *4); (36.9)
