Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
переходов в сильно анизотропных системах и обобщим в первую очередь
эффекты этого взаимодействия, связанные с их симметрией.
Метод ренорм-группы и б-разложения. Особенности поведения
термодинамических величин в критической области обусловлены
взаимодействием флуктуаций параметра порядка и неограниченным
возрастанием корреляционной длины по мере приближения к Тс. Энергия
системы в симметричной фазе в окрестности фазового перехода должна
описываться разложением Ландау по степеням параметра порядка, в котором
следует сохранить члены с пространственными производными, учитывающими
неоднородное распределение параметра порядка. Такое выражение для энергии
часто называют гамильтонианом Гинзбурга-Ландау Ягл. Вероятность
осуществления заданной конфигурации флуктуаций определяется выражением,
пропорциональным ехр (-///&7), поэтому удобно рассматривать безразмерную
энергию флуктуаций Нтп/кТ = Н [4J.
Запишем наиболее общую форму гамильтониана Н в модели 174:
#=/c?dx{(l/2)2[n7? + (Vi7x)2] + 2 иКрр"Т1х'Пр'ПрЪ}', (35.9)
X \p)iv
при этом нормировка параметра порядка выбрана так, чтобы коэффициент при
неоднородном члене равнялся единице. Написанное выражение включает все
инварианты четвертой степени для группы симметрии исходной фазы и для
данного НП, так что U\ppv представляет сумму по всем этим инвариантам,
т.е.
и^Р^ = ^и1рр"- (35.10)
В однородном случае оно переходит в обычное разложение свободной энергии
Ландау, которую мы изучали в предыдущих главах, исследуя различные
диссимметричные фазы (различие состоит в множителе при г, который принято
традиционно писать в работах по флуктуационной теории).
В импульсном представлении гамильтониану (35.9) соответствует выражение
1
H~Z fdq(r + q ) 2 17\(q)i}\(-q) +
'л X.
+ fdqt ...dq4uKpfiV((ii,.,. ,fl4)(?i) (?г) Пц(?з)^(?4) 5 (?i +Я2 •+
+ "з+?4>, (35.11)
где dq = ddql (2 л)d - элемент объекта обратного б/.-мерного
пространства. Интегрирование по q ведется до импульса обращения q0 < 1/а,
где а - параметр решетки. Это означает, что в Н учитываются лишь
217
макроскопические флуктуации. Зависимостью от импульсов в величинах мр в
связи с этим обычно пренебрегают.
Проблема фазового перехода сводится к анализу статистической суммы
Z= Sp exp {-Нтп/кТ) = JDi) exp (- #), (35.12)
представляющей собой континуальный интеграл по всем значениям параметра
порядка Г)х (я) от - до + 00 с элементом объема
Dq = П П dr\x(q). (35.13)
0< q < <?0 X
Основная идея ренорм-группы состоит в том, чтобы выражение для
вероятности exp (- Н) проинтегрировать по коротковолновым флуктуациям и
получить эффективный гамильтониан для длинноволновых флуктуаций. Этот
гамильтониан определяется из соотношения
ехр (- Н'[щ]) = const /Drh exp (-# [tj0 + r?i]), (35.14)
в котором интегрирование ведется по элементам объема
DVl =П П dtfcfo), (35.15)
q \
связанного с интервалом волновых векторов q0/b <q <q0 (b > 1).
Параметр порядка (я) для q из этого интервала обозначен через VixiQ), из
интервала 0 <q <q0/b - через т)0\ (q). Таким образом, для любого значения
q из полного интервала импульсов 0 <q <q0 параметр порядка может быть
формально представлен в виде суммы ц (q) = т)0 (?) +
+ (q) двух членов, в которой либо один, либо другой
тождественно равен
нулю.
После интегрирования по D т?! выражение (35.14) определяет гамильтониан
Н' (т/о), включающий только длинноволновые флуктуации tj0> и зависит от
произвольного численного параметра Ь. Дальнейшее преобразование
гамильтониана Н' (i70) заключается, во-первых, в растяжке шкалы импульсов
в Ъ раз, за счет чего интервал новых импульсов q' становится таким же,
как исходный, т.е. О < q' < q0, и, во-вторых, в изменении масштаба
параметра порядка г? в z раз. Это формальное преобразование, выражающееся
соотношениями
Я^я' = Ъя, 1? (<?)-*• i?^'(?') = zln(q), (35.16)
физически соответствует идее Каданова о переходе от исходной решетки
''спинов" к укрупненным блокам с эффективными ''спинами".
Переход с помощью соотношений (35.14) и (35.16) от исходного
гамильтониана Н к эффективному Н' можно описать с помощью некоторого
оператора R, действие которого можно повторить и получить новые
гамильтонианы Н", Н'" и т.д.:
Н' = RH, H" = RH'=R2H,... (35.17)
Операторы/?, R2, R3,... образуют так называемую ренормализационную
группу, или ренорм-группу [5]. Поведение системы в самой точке фазового
перехода связывается с предельными свойствами ренормированного
гамильтониана, а именно, с существованием неподвижной точки Н*, опреде-
218
ляемой соотношением H*=RHm.
(35.18)
Если под действием многократно повторяемой операции R исходный
гамильтониан Н стремится к предельному" значению Я*, говорят, что
неподвижная точка устойчива. ''Скорость" приближения к устойчивой
неподвижной точке определяет критические индексы системы.Таким образом,
исследование фазового перехода заключается в получении ренормиро-ванного
гамильтониана Я' (установлении операции ренорм-группы К), нахождении
неподвижных точек и исследовании их устойчивости 1.
