Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
изменение фазы с z становится ступенчатым, а ширина ступени L растет. На
длине L р постоянно и равно я/л. Таким образом, при больших к возникают
большие домены новой однородной фазы (характеризующиеся р = л In) с
узкими доменными границами. Модулированная структура с волновым вектором
к0, возникающая при температуре Тт, постепенно исчезает, сменяясь
доменной структурой новой однородной фазы. Это указывает на то, что.при к
-+1 может происходить фазовый переход в однородную структуру,
характеризующуюся лифшицевской звездой волнового вектора, для окрестности
которого и был записан исходный термодинамический потенциал (32.1) или
(32.4).
Солитонная картина фазового перехода. Для исследования фазового перехода
из модулированной структуры в однородную найдем выражение для
термодинамического потенциала в области к 1.
Прежде всего запишем термодинамический потенциал (32.4) в приближении р =
const. Удобно записать его в следующей форме:
Ф = 2ур2 S f dz {^(Ър/Ъг - к0)2 + и(1 + cosnip)}, (32.23)
где S - площадь образца, который мы выбираем в форме какого-нибудь
цилиндра с осью вдоль оси z [11,13-15]. Легко проверить, что уравнением
минимизации этого функционала и является уравнение математического
маятника (32.14).
Найдем сначала решение этого уравнения для к = 1. Будем исходить из
уравнения (32.17)
q(z - z0) = / ±cos-1 (np/2)dp-= (2/n)lntg(n<p/4 + 7t/4),._ (32.24)
о
где z0 - постоянная интегрирования. Из этого соотношения получаем два
193
решения для сp(z)
nifi/4 = -я/4 + arctg exp[m?(z - z0)/2), (32.25)
rn/j/4 = - я/4 + arctg exp[-nq(t - z0)/2], (32.26)
Первое из них удовлетворяет граничным условиям
<р(оо) = я/и, IД-">) = -я/и (32.27)
и называется солитонным, второе, удовлетворяющее обратным условиям
<р(°°) = - я/и, (/?(-оо) = я/и, (32.28)
называется антисолитонным. Эти решения показаны на рис. 8.4. Они
представляют собой доменную стенку между состояниями с фазами = я/и и 10
= -я/и.
Солитонное решение изображается графиком функции (z) = am (z, к) (рис.
8.3) в пределе к = 1. При к "= 1 многоступенчатое решение можно
представить приближенно как решетку из солитонов (32.25) с периодом L.
Запишем энергию системы (термодинамический потенциал Ф) как энергию
решетки солитонов, аппроксимируя ею точное значение Ф при к ** 1.
Энергия солитона Есол >по определению, есть разность ^сол = ФОч'сол I) -
ф( 1<Р = Ф I),
где \рсол есть солитонное решение (32.25). С помощью выражения (32.23)
для Ф, уравнения (32.14), а также выражений (32.25) и (32.27) представим
Есол в виде
Econ/2yp2S = / dz(dip/dz)2 - k0[ip(oc) - ^(-оо)] = 8yjv/n - 2nk0/n.
- оо
(32.29)
Мы использовали при этом соотношение
q = 2y/v, ¦ (32.30)
следующее из (32.18) при к = 1.
Энергия решетки солитонов складывается из энергии одного солитона,
умноженной на число солитонов, и энергии отталкивания солитонов U.
Окончательный результат легко записать в виде
Ф/27Р2 V = (4\/и/я - |*о I)* + U(k) (32.31)
(V - объем образца) [13]. Здесь к представляет некий ''средний волновой
вектор" солитонного состояния:
*=?-1[??(оо)-??С-")]=2я/и/,, (32.32)
причем величина А является числом солитонов на единице длины.
При переходе от выражения (32.29) к (32.31) мы поставили знак модуля у
величины к0 (см. определение (32.11)), чтобы учесть оба знака
коэффициента а. Как видно из второго члена в выражении (32.29), смена
знака у *о й замена солитона на антисолитон не меняет выражения для ?сол,
поэтому выражение (32.31) при к0 > 0 дает энергию рещетки солитонов, а
при *0 < 0 - антисо лито нов. Обе энергии должны быть, очевидно, равны.
194
ТС п ?
г ,
) п
Р и с. 8.4.Решения уравнения (32.17) при к = 1: солитонное (сплошная
линия) и антисоли тонное (штриховая).
ко
О
-ко
к-0
Рис. 8.5.Смена фаз при изменении параметра к". S - солитонная фаза, AS -
антисо-литонная фаза. '
К полученному выражению (32.31) для термодинамического потенциала следует
еще приписать уравнение (32.22) (с учетом (32.21)),позволяющее выразить к
через параметры функционала Ф. Это уравнение можно свести к следующему:
(v/vc)v2 =к/Е(к), Vc=(n2/I6)kl. (32.33)
Из выражения (32.31) следует замечательный физический результат. Пусть к0
меняется под действием температурной внешней силы, например давления.
Пока к0 велико и коэффициент при к отрицателен, в системе выгодно
существование солитонов (нулевое значение энергии Фсоответствует
однородной фазе с у = тт/п). При положительном значении коэффициента при
к появление солитонов невыгодно, т.е. к должно быть равно нулю. Таким
образом, при |Аг0 I = ко, где
kS = n2\/vj4ir, (32.34)
возникает фазовый переход из неоднородного состояния в однородное. В
области, где |Аг0 1>к?, существует неоднородное состояние (в частности,
модулированная структура с волновым вектором к0). При \к0 I < ко
существует однородная структура, отвечающая лифшицевской точке зоны
Бриллюэна (рис. 8.5).
Величина к0, как следует из выражения (32.23), для термодинамического
потенциала является волновым вектором модулированной структуры в
