Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
увидим ниже, оказывается очень важным в проблеме существования
модулированных фаз. Мы будем предполагать, как обычно, что только один
коэффициент в формуле (32.4) меняется с температурой,г - г 0( Т-Т0 ).
Равновесное распределение параметра порядка должно находиться из
уравнений минимизации функционала (ЭФ/Эр = 0, ЭФ/Э<р : 0)
п (д&\2 Э2р Э<р
rp + 2ир3 +^-wp"_1(l + cosn<p) + 7Й-¦) "l'-rz стр--=0, (32.5)
+ \Эг/ Эг2 Э z
Э2<р Эр Эip Эр и
7Р2-- + 27р ар- + -wp" sin"ip = 0. (32.6)
Эг dz dz dz 1
Решение Дзялошинского. Система нелинейных уравнений (32.5) и
(32.6) слишком сложна, чтобы надеяться получить решения в
аналитическом виде. Дзялошинский предложил искать приближенные решения
при условии
Эр/Эг = 0, (32.7)
предполагая более слабую зависимость от координаты модуля, нежели фазы.
Заметим, что уравнения имеют тривиальное решение р = 0, отвечающее
исходной фазе. Вблизи р = 0 уравнение (32.5) можно линеаризовать по р.
При дополнительном условии (32.7) получающееся уравнение можно переписать
в виде
Эср/Эг = (а -± у/а2 - 4гу")/2у. (32.8)
При высоких температурах, пока г > а2/4у, уравнение (32.8) не имеет
вещественных решений. Они возникают при температурах, когда
г<гс = о2 /4у. (32.9)
Вблизи критической температуры
Tm=T0+a2/4yr0 (32.10)
уравнение (32.8) имеет решение ip = k0z , где
к0 = а/27. (32.11)
Таким образом, при Т <Тт в непосредственной окрестности Тт возникает фаза
с распределением параметра порядка
T)i = p0cask0z, г)2 = Ро sinfc0z, (32.12)
описывающем либо спиральную структуру, либо синусоидальную поперечную
структуру.
Чтобы получить величину ро, подставим <р = k0z в уравнение (32.5). Это
уравнение согласуется с условием (32.7), если анизотропный член мал и им
можно пренебречь. В этих условиях
Ро = [{гс - г)12и]т ~(Тт - ТГ2 , (32.13)
откуда следует, что фазовый перевод из исходной в модулированную фазу
является переходом второго рода.
191
Если константа w анизотропного взаимодействия не мала, легко видеть, что
в решениях уравнения (32.5) при малых р наряду с основной гармоникой
(32.12) появляются кратные гармоники, причем коэффициенты при них-быстро
нарастают по мере отхода от точки Тт. Это означает, что необходимо искать
аналитические решения нелинейных уравнений (32.5) и (32.6). При условии
(32.7) (р = const) уравнение (32.6) становится уравнением математического
маятника
d2^jdz2 + nvsmmp = 0, (32.14)
и = н'р"-2/27. - (32.15)
Задача о фазовых переходах в спиральные магнитные структуры впервые была
сведена к такому уравнению Дзялошинским, поэтому соответствующее решение
уравнений минимизации в теории фазовых переходов в модулированные
структуры получило название решения Дзялошинского
llU-
Решение уравнения (32.14) может быть записано через специальные функции.
Для этого сначала запишем первый интеграл движения, который можно
получить, интегрируя левую и правую части уравнения по dip:
1Л (dy/dz)2 - v cos"ip = е, (3 2.1 С)
где е - постоянная интегрирования. Она имеет смысл энергии, если
отождествить производную по плотности с производной от времени и положить
массу равной единице. Удобно вместо е ввести другую величину q, имеющую
смысл импульса, по соотношению: е = q212 - v . Тогда уравнение (32.15)
переписывается в виде
,d<p/dz - q>(l - K2sin2rtyj/2)l/2, (32.17)
где параметр к определяется посредством соотношения
K2=4v/q2. (32.18)
Таким образом, в уравнение минимизации (32.17) входят два параметра к и q
(вместо первоначальных параметров р0 и е ). Они должны находиться из
условий минимизации функционала после подстановки в него решения
уравнения (32.17).
Последнее можно записать в виде
nipl2 = am(nqzl2,n), (32.19)
где функция 1p(z)^ am{z , к ) - известная эллиптическая функция
амплитуды, являющаяся решением уравнения [8]:
z=/(l-K2sin2(p)'1/2^- (32.20)
/
Соотношение (32.19) и является решением Дзялошинского для уравнений
минимизации в теории фазовых переходов. Характер этого решения зависит от
величины к (0 < к < 1). Предел к ->-0, для которого = qz, отвечает
решению (32.12) линеаризованного уравнения (32.5). Вид решения для
произвольных к и для к = 1 показан на рис. 8.3. Интервал периодичности L
решения (32.19) выражается через эллиптический интеграл первого рода К (к
) :
L=4K(ti)lqn. (32.21)
192
Рис. 8.3. Амплитудная функция ч> (z) =am(z, к) для различных значений
параметра к.
Если подставить решение (32.19) в функционал (32.4) и проминимизи-ровать
его по к, получим уравнение для определения к:
Lk0 = (8/п)К(к)Е(к), (32.22)
где Е (к) - эллиптический интеграл второго рода [12].
Физический смысл решения (32.19) заключается в следующем (см. рис. 8.3).
При понижении температуры от точки фазового перехода Тт, где возникает
модулированная структура, изменение фазы модуляции вдоль оси z становится
неоднородным. Области медленного изменения фазы сменяются областями
быстрого подъема, и это распределение фазы периодически изменяется на
длине L . С ростом к (т.е. с ростом амплитуды параметра порядка)
