Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
включении в Ф членов с производными от параметра порядка. Рассмотрим
простейший функционал вида
где г)' означает производную по координате z [1]. Такой функционал может
описывать структуры, модулированные лишь вдоль одного направления z.
Будем полагать, что
а знак у может быть произвольным. Ясно, что при у > 0 появление
неоднородностей в системе энергетически невыгодно, и функционал (31.1)
описывает фазовый переход при Т = Т0 в состояние с однородным параметром
порядка (фаза 1, или ''соизмеримая" фаза). При у < 0 минимуму Ф отвечает
фаза с неоднородным параметром порядка rj(z) (фаза 2, или
''несоизмеримая" фаза).
Удобно разложить rj(z) в ряд Фурье:
W)= Z nqeiqz (vq=V*_q), (31.3)
я
после чего Ф принимает вид
§ 31. АНАЛИЗ ПОТЕНЦИАЛОВ, НЕ СОДЕРЖАЩИХ ЛИНЕЙНЫХ ГРАДИЕНТНЫХ ЧЛЕНОВ
Ф =/dr (гг?2 +мг?4 +7(т?')2 +0(i?")2},
(31.1)
г = г0(Т- Т0), и> 0, 0>О,
(31.2)
184
где
. A(q) = r + yq2 + /??4 (31.5)
имеет минимум при q = О, если у > О, и при
<7'=*о=(-7/20)1/2, (31.6)
если у < 0. Фазовый переход будет происходить при температуре, когда min
A(q) = 0. Эта температура определяется, таким образом, из уравнений
A(q) = r = 0 (7>0); (31.7)
Л(*0) = г-72/4/3 = 0 (7<0). (31.8)
Первое из этих уравнений определяет температуру Т0 перехода из исходной
фазы 0 в фазу 1, второе - температуру Тт перехода из фазы 0 в фазу 2.
Распределение параметра порядка rj(z) в фазах 1 и 2 при Т < Т0 и Т < < Тт
находим из уравнения минимизации функционала (31.1). В случае
произвольного функционала вида
0 = /d/V(i7,i/,ij") (31.9)
минимизирующее уравнение находится из соотношения
Ъ<р d Ъу> d2 dtp
Ъг) dz dr)' dz2 drj"
= 0. (31.10)
Для конкретного функционала (31.1) уравнение (31.10) является
дифференциальным уравнением четвертого порядка с кубической
нелинейностью:
Ы'"-т" +гг) + 2иг)3 =0. (31.11)
При 7 > 0, как мы уже отметили, выгодно однородное распределение
параметра порядка, величина которого находится из уравнения rrj+ 2ит?3 =
= 0, откуда
г) = (-г/2и)1/2. (31.12)
При 7 < 0 следует решать уравнение (31.11). Не имея точного решения этого
нелинейного уравнения, исследуем асимптотику решения при малом 1?, т.е.
вблизи точки перехода Тт. Запишем решение линеаризованного уравнения
/Зт/'"- Уг\ + гг) = 0 (31.13)
в виде
- V(z) = lA(nqeiqz + r]*qe-iqz). (31.14)
Левая часть уравнения (31.13) при этом становится равной A (q) . откуда
видно, что уравнение удовлетворяется при А(к0) = 0, т.е. в самой точке
перехода, и параметр порядка rj(z) содержит лишь одну гармонику с q = =
к0. Оставим в выражении (31.4) только фурье-компоненту rjk cq =к0 и
запишем термодинамический потенциал вблизи Тт в виде
Ф = ЙД(Аг0>"?к0"?к0 +3/8Мт?Е цк2 (31.15)
185
Минимизируя по r)k<i, получаем равновесное значение 1r?fc J = = (-
2А(к0)/Зи)1/2. Таким образом, вблизи Тт
r?(z) = (- 2A{k^\3u)x>2 cos(Jt0z +??), (31.16)
где v? - произвольная фаза. Полученное решение описывает синусоидальную
структуру с амплитудой, пропорциональной А(к0))1!2 ~ ~ (Тт-Т)1/г, где
Tm=T0+^/^r0. (31.17)
По мере удаления Г от Тт становится важным нелинейный член в уравнении
(31.11) ив решениях начинают присутствовать другие гармоники. Благодаря
кубической нелинейности возникают нечетные гармоники, и решение следует
искать в виде ряда
v(z) = 1d(r)ko exp(/k0z) + 7?3fc0 exp (i3k0z)+ ...) + к.с.
Амплитуды f?fc(i,7?3fco,... связаны друг с другом соотношениями
А(к0)пко +("/4)(3 |j?fcJ2 +6|r73fco l2r7fco) = 0,
Л(3/с0)т?з*о + ("/4)<>?20 +6|T?kol2T?3fco +3|г7зко|2г7зко) = 6.
Найдем связь между этими амплитудами в области, где |r?3k I I Vk I-
Отбрасывая последние члены в написанных выше соотношениях, находим
|T7fcJ = (2M(*0)l/3n)1/2, (31.18)
'Пзк, =M(*o)l%0(3 М(*о)1 +4871/|3)*1,
где мы воспользовались определениями (31.5) и (31.6) для A(q) и к0 и тем
фактом, что при Т < Тт А (к0) < 0. Таким образом, условием для малости
г)3к является неравенство
М(*р)К48у2/0. (31.19)
Можно проверить, что при этом условии |i)sk I ^ | Дзко I и т.д., так что
неравенство (31.19), которое можно переписать в форме Го(Т-Тт)<АЬу2Ш,
определяет температурный интервал, где справедливо асимптотическое
решение (31.16) нелинейного уравнения минимизации термодинамического
потенциала.
Запишем в заключение энергии Ф| и Ф2 однородной и модулированной фаз.
Подставив равновесное значение параметра порядка в выражения
(31.1) и (31.15),находим
Ф, = - г2 /Ли, (31.20)
Ф2=-А2(к0)/6и = -(г-у2т2/6и. (31.21)
Полученные выражения позволяют построить фазовую диаграмму системы, что и
будет сделано в конце этого параграфа. Сейчас мы перейдем к аналогичному
рассмотрению случая многокомпонентного параметра.
186
Двухкомпонентный параметр порядка. Однокомпонентный параметр порядка
может описывать синусоидальную модулированную структуру. Таковой
является, например, волна зарядовой плотности или магнитная структура
типа продольной или поперечной спиновой волны. Геликоидальные структуры в
магнетиках описываются по крайней мере двухкомпонентным параметром
