Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
порядка. Рассмотрим простейший функционал с двухкомпонентным параметром
порядка [2]:
Ф =fdr{r(v2i + vl)+ui(Vi +n\f +t*2'n2iV2 +
+ 7(7? ? +r?22) + 0(f?i'2 +*?22)}- (31.22)
Он является весьма общим функционалом модели 174 для двумерного НП и
может рассматриваться, с другой стороны, как обобщение функционала
(31.1). Здесь штрих означает производную по координате г. Условия
устойчивости для него выражаются неравенствами (§17)
иi>0, 4м, + и2>0, 0>О. (31.23)
Выпишем уравнения минимизации Ф, которые можно получить из общего
уравнения (31.10), записав его для каждой компоненты 77, и т?2 :
Рп""-УП1 +ri7, + 2m,(i7, +42)171 +U2V2V1 =0,
(31.24)
№2" 71? 2 +'•172 + 2и,(т?1 + 771 ) 772 + М2Т7 1 772 = 0.
Так же как для случая однокомпонентного параметра, уравнения могут быть
решены вблизи точки фазового перехода, где их можно линеаризовать.
Нетрудно проверить, что эти решения есть
77х =77(r) cos(k0z + ^х) (X = 1, 2), (31.25)
где г?(r) и ipK - произвольные константы, которые следует выбрать из
условия минимизации термодинамического потенциала. Волновой вектор к0
определяется при этом соотношением (31.6).
Подставим решения (31.25) в выражение (31.22); после выполнения
интегрирования получаем выражение для потенциала в соответствующей фазе
Ф = У2А(к0) (77°2 + т?52) + 3/в"1 (т7?4 + т?24) +
+ 1/8(2u1+m2) [2+cos2(ip, - <^2)] т? ? 2 77 (r)2, (31.26)
где А(к0) определяется соотношениями (31.5) и (31.6) или соотношением
(31.8).
Проминимизируем полученное выражение по величине (173, - ip2)- Минимум
потенциала (31.26) достигается при
(0, -(/?2 =71/2 +И7Г (" = 0,1,2,...), (31.27)
причем в точке минимума
Ф = ЙЛ(*о)(77?2 + 772 2 ) + 3А Mi (77? 2 +7?f )2 +
+ 1/ф2 -4",)77?2 77?2. (31.28)
187
Остается теперь проминимизировать по величинам г?? и г?(r). Возникают при
этом два типа решений:
г??=0, !??=(-14 (*0)/Зн,)1/2; (31.29)
г?? =(-Л(Л0)/(н,/2+и2/4))1/2 (31.30)
(наряду с решением (31.29) есть, разумеется, и симметричное решение
Vi <-*4г). ' '
Для обоих решений (31.29) й (31.30) пространственная зависимость
параметра порядка определяется выражением (31.25) при условии (31.27).
Таким образом, вблизи точки фазового перехода Тт, определяющейся
уравнением (31.8), возникает неоднородная структура с компонентами
параметра порядка
17, = 17? cos(fc0z +(/?), г)2 =172 sin(/c0z +</?). (31.31)
Вид амплитуд 17, и 17? определяется знаком анизотропного члена в
(31.28). При и2 -4и, >0 энергетически выгодно состояние (31.29) с одной
гармоникой, соответствующее продольной синусоидальной структуре. В
противоположном случае и2 - 4и, < 0 выгодно состояние (31.30) с двумя
сдвинутыми по фазе гармониками. Это состояние отвечает либо
геликоидальной структуре, либо поперечной синусоидальной структуре.
Последнее определяется выражением спиновой плотности в данном кристалле
через базисные функции соответствующего двумерного представления. Как
видно из выражений (31.29) и (31.30), параметр порядка меняется
непрерывно в окрестности температуры фазового перехода Тт, поскольку А
(k0) ~ (Т - Тт), так что фазовый переход из исходной фазы в
модулированную является переходом второго рода.
Приступим теперь к анализу фазовых диаграмм систем с гамильтонианом
(31.1) или (31.22).
Точка Лифшица. На примере-простейшего термодинамического потенциала
(31.1) с градиентными членами мы видели, что с понижением температуры из
исходной фазы 0 возникает при у < 0 модулированная фаза 2,
характеризующаяся волновым вектором к0, тогда как при у > 0 появляется
упорядоченная однородная фаза 1. В обоих случаях фазовый переход в
упорядоченную фазу является переходом второго рода. Температуры перехода
Тт и То связаны друг с другом соотношением (31.17).
Если система находится под влиянием внешних воздействий X (давление,
поле, концентрация и т.д.), величина г в потенциале (31.1) будет зависеть
не только от Т, но и от X, и фазовый переход 0 "-*¦ 1 будет происходить
по линии r(T, X) = 0 на плоскости (Т, X). Эта зависимость в силу
соотношения (31.17) приведет также к линии переходов 0 *-*¦ 2. Пусть
величина у также зависит от 7" и X и меняет знак на линии у(Т, X) = 0.
Точка (7/,, Х^), где обе линии пересекаются, называется точкой Лифшица
[3], Она определяется из решения двух уравнений
r(TL,XL) = 0, y(TL,XL) = 0. (31.32)
Поскольку при 7 = 0, как мы видели, происходит смена фаз 1 и 2, эта точка
является тройной, т.е. в ней сходятся три фазы: исходная, однородная и
модулированная (рис. 8.2). В. самой точке Лифшица, как следует из
соотношения (31.6), волновой вектор модулированной структуры к0 188
равен нулю, и он непрерывно возрастает по мере отхода от нее в глубь
области 2.
В случае однОкомпонентного параметра порядка линия Тт определяется
соотношением (31.17), а линия 7", 2 находится из равенства энергий фаз 1
и
2. Приравнивая друг другу выражения (31.20) и (31.21), находим
Tl2 =Tm -(l+ VS)72/40ro. (31.33)
Фазовый переход на этой линии является переходом первого рода [ 1 ]. В
