Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим две макроскопические величины х,и х2, преобразующиеся под
действием группы .исходной фазы кристалла аналогичным образом, и запишем
термодинамический потенциал, включая сопряженные этим величинам поля ЛГ,
и Х2:
Ф = гту2 +иту4+ WTy2" COs2wip + 5iTy" СО%ПфХ\ +
+ б2 ту" sin nipx2 + Ktx2 + К2х2 - xt Xt - х2Х2. (33.17)
Величина ту2 " cos 2 может рассматриваться как квадрат любой из величин
(33.16) и является инвариантом, поскольку сами они преобразуются по
одномерным представлениям.
Минимизируя Ф. по X] и х2, находим уравнения состояния
Х\ =(-51l2Ki)vn cosnip + Xi/lK!,
х2 =(-62/2*2) ту" мпжр + ЛГ2/2К2, (33.18)
с помощью которых легко исключить из термодинамического потенциала
переменные х j и х2 и записать его в виде
Ф = гг}2 + иту 4+ w ту2" cos 2 п <р + (5, jlK^rf cosп ipXt +
+ (5*/2К2)ту" мпжрЛГг - XI /4К, - X\ I4K2, (33.19)
гдеи" =w-52/8Ki+52/8K2.
Найдем сначала равновесные значения ту и \р в отсутствие полей Xt и Х2.
Из условия Э.Ф/Эту = 0 в наинизшем порядке по ту находим ту "= (-
r/2u)1^2, а из условия ЭФ/Э^ = Оимеем sin2H^ = 0iuiH cos2/i<p = ±l. Выбор
знака
205
зависит от знака параметра w. При w < 0 имеем cos 2тр = - 1 и из
выражений (33.19) получаем
х, = ± (5, /2*,) тА х2 = 0. (33.20)
При iv > 0 имеем cos 2п^~ 1 и
*т =0, х2 = ±(52/2*2)tj". (33.21)
Таким образом, при заданном п возможна фаза, в которой спонтанно
появляется только одна из макроскопических величин xt илих2, причем
температурная зависимость ее определяется значением п:
(33.22)
Рассмотрим теперь восприимчивости Ххц ~ dxx/dX^. С помощью соотношения
(26.12) получаем при iv> 0 и при w < 0 соответственно
Хи = 1 /2АГ j +(5] п2 /32иК\) Г}2п ~ 4,
Х22 = 1/2К2 +&2/\6К22 | w |, (33.23)
Хн = 1/2*! +("1/16*? w),
Х22 = 1/2*2 + (52 п2/32 )т?2"-4. (33.24)
При больших п восприимчивости Хл в (33.23) и Х22 в (33.24) из-за малости
17 практически такие же, как в исходной фазе: 1/2*) и 1/2*2.
Восприимчивости же Хг2 в (33.23) и Хи в (33.24) не зависят от 17, и
поэтому их отличие от значения в исходной фазе того же порядка величины,
что и при обычных фазовых переходах второго рода. Таким свойством
обладает лишь одна из воспримчивостей, отвечающая той макропеременной х,
спонтанное значение которой в данной фазе равно нулю. При изменении пит
физический смысл макровеличин xi и х2 и, следовательно, соответствующих
им восприимчивостей меняется.
Изложенный результат состоит, таким образом, в том, что при перемещении
по чертовой лестнице некоторые восприимчивости должны испытывать
нерегулярные заметные скачки. Как отмечают авторы этой работы, на пути
экспериментального обнаружения скачков восприимчивостей при переходах
между фазами с большим п могут стоять значительные трудности, поскольку
из-за различных неоднородностей кристалла в нем может существовать целый
набор длиннопериодических фаз с разными волновыми векторами к.
§ 34. ИНВАРИАНТЫ ЛИФШИЦА И ДЗЯЛОШИНСКОГО
Построение инвариантов Лифшица. Фазы с неоднородным распределением
параметра порядка могут возникнуть только при наличии в термодинамическом
потенциале членов с производными по координатам. Феноменологическая
теория учитывает лишь слабые неоднородности, поэтому большую роль играют
инварианты с наинизшими производными и в первую очередь с линейными
производными, так называемые инварианты Лифшица (ИЛ). Если симметрия
допускает ИЛ, то возникает, как мы видели в § 32, некоторая
модулированная структура, волновой
206
вектор которой зависит от коэффициента при этом инварианте. Однако если
для некоторой симметричной точки зоны Бриллюэна ИЛ отсутствует, это не
означает, что не может появиться неоднородная модулированная структура.
Появление или, наоборот, отсутствие таких структур обусловлено не
симметрийными причинами, а энергетическими: модулированная структура
появляется, если термодинамический потенциал имеет минимум не в
симметричной точке, а в ее окрестности. Конечно, характер этой модуляции
(направление волнового вектора и поляризация) зависит от симметрии. '
Наиболее общая форма линейного по производным инварианта Лифшица для НП
Dv представляет антисимметричную комбинацию вида
'7., 0 А Л'а Л dv А'/дха ~ V А> Эт?д /Ъха,
ЛЛ а.
где т?д - коэффициенты смешивания базисных функций представления Dv,
образующие многокомпонентный параметр порядка. Выражение, стоящее в
круглых скобках, преобразуется по представлению {Dv } х У Dy, где {Dp } -
антисимметричный квадрат НП If, a Dv - векторное представление (по
которому преобразуется производная Э/Эха).
ИЛ отсутствует для представления Dv, если произведение {Dv } х ?), не
содержит единичного представления, т.е.
{Dvl} у- Dv 1>DX. (34.1)
Этому условию (Лифшица) можно придать эквивалентную формулировку.
Согласно общим соотношениям (2.13) и (2114) теории групп, всего можно
построить nL независимых ИЛ:
nL = II G Г1 2(х1'2} С?)Хк (?). g^G, (34.2)
где {х v } - характер антисимметричного квадрата представления Dv :
2 {х1'2} (s) = x"J (s)-x'V),
