- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(11.18)
i ={0, 0, sin x3, ctg xі cosa;3}, g = {0, 0, 0, — 1}.
(1) <3)
Условию (11.16) с векторами (11.18) удовлетворяет статическая сферическая метрика (в обозначениях x°=t, Xi = г, X2 = Q, я3 = ф)
ds2=exp (-X(r)) dt2—exp (X (г) )dr2—г2 (dO2 + sin20<V).
Для тензора кручения нетрудно получить из (11.17) следующие ограничения:
dQV<3<p = 0, dQ%Jdt = 0, Q%6? - Qa2?ov - Q3Pvб? + Sin-2 0 [Q2pX - Qa3vo? - Qa?3Ov] = 0, - ctg e (Q«3vo$ - Q33a6v - Q3?v6?) - 0.
После учета этих соотношений остаются лишь восемь независимых компонент тензора кручения, а именно: Qioi, Q202, Qooi, Q313, Qo32, Q123, Q230, Q321. Если ограничиться рассмотрением плоскости 0 = л/2, то придем еще к следующему соотношению:
(5QV/<50- 0.
Тогда перечисленные независимые компоненты будут функциями только расстояния от начала системы координат.
В работах [189, 190] были рассмотрены автопараллели в статических сферически симметричных пространствах с кручением, где все возможные компоненты кручения, за исключением Qm= q(г), равны нулю. В этом случае первыми интегралами автопараллелей будут
ехр(—X + 2hq(r))dtJds = Ji, r2exp(2/sq(r))d(p/ds = J2. .
(11.19)
Далее способом, аналогичным изложенному в [191], получается уравнение автопараллели
(d2uldw2)2 = /1//2+ (2/тш+І) (ехр(*/з<7("))//2 + «2), *и = г~К
(11.20)
70- Решим уравнение (11.20) приближенно, представляя и в виде « = «o + v; где щ>— (1 + ecos<р)/р — эллипс; є —эксцентриситет эллипса; v — малая поправка, которая в случае римановой геометрии приводит к размыканию эллипса на величину
0ф = J2Ip,
а в данном случае на величину
6ф = /2/р + naip/e, где а, зависит от конкретного вида q(r) и для случая q{r) = = ln(l + ?/r) будет ах = 2fo?pJ\.
Рассмотрим теперь изотропные автопараллели, удовлетворяющие уравнению (11.14) с дополнительным условием
0,
dX dX
где л. —параметр вдоль кривои.
Нетрудно увидеть, что только бесследовая часть тензора кручения влияет на изотропные кривые в Ui. Действительно, если QV = O, то, переопределяя параметр Xi = Xi(X), можно привести уравнение (11.15) к уравнению для геодезической псевдориманова пространства. Поэтому мы исследуем лишь вариант статических сферически-симметричных пространств с кручением, представленным бесследовой частью. В этом случае также будут два первых интеграла уравнений автопараллелей
r*dff/ds = J„ Qm4r) - = J1,
- q132 (г) ds
что накладывает определенную связь на компоненты кручения и делает их зависимыми. В полярных координатах автопараллель будет задаваться уравнением г = В/ф.
Таким образом, автопараллели в ^-пространствах существенным образом отличаются от наикратчайших, которые, однако, как и в псевдоримановых пространствах, являются траекториями движения бесспиновых пробных частиц в (У4 [192].
§ 12. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО И МАТЕРИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА—КАРТАНА
Одним из главных следствий калибровочного подхода к гравитационному полю, как мы установили в гл. II, является выход за рамки эйнштейновской гравитации и доказательство того, что гравитационное взаимодействие описывается двумя независимыми динамическйми переменными — метрикой и связностью. Такая теория получила название аффинно-метри-ческой теории гравитации, частным случаем которой является теория гравитации с кручением,
71- Источником метрического гравитационного поля и поля кручения служит материя, которая характеризуется тензором энергии-импульса и спином. В плоском пространстве-времени лагранжиан материи зависит от полевых переменных и их производных Lm(ф, dtp). При переходе к аффинно-метричёско-му .пространству необходимо согласно принципу минимальности взаимодействия, следующему из- калибровочного принципа (см. § 1), сохранив форму лагранжиана материи, заменить обычные производные ковариаитными
c^V^d-r,,
а метрику Минковского на псевдориманову rj,Тогда
г
Lm (ф, Ap)-»-L(<p, УФ. 8); (12.!)
Полный лагранжиан будет суммой материального лагранжиана и лагранжиана гравитационного поля. В качестве последнего в ТЭК выбирается скаляр кривизны аффинно-метри-ческого пространства
Lg = Rig, Г). (12.2)
Подчеркнем, что гравитационный лагранжиан в виде гиль-бептовского скаляра кривизны R без тщательного учета граничных вкладов (см. С. Хокинг, Л. И. Седов [277], А. Цейтлин и дп,), как выяснилось, неудовлетворителен по ряду причин: соответствующая вариационная задача является некорректной; невозможно строго определить производящий^ функционал в квантовой теории; не говоря уже о том, что решения уравнений поля содержат сингулярности, что является главным недостатком ОТО (см. статью Д. Иваненко в сб. «Проблемы физики: классика и современность» [275]).
Исходя из калибровочной концепции, наилучшим выбором лагранжиана гравитационной теории является
плюс, возможно, квадратичные вклады от кручения и немет-ричности (обсуждение этой теории см. в Г2751). Укажем, что в этой модели существуют несингулярные ' космологические решения. (А. В, Минкевич и др.), она перенормируема на ри-мановом фоне (Ю. Н. Обухов и Е. А. Назаровский, 1984), допускает инстантонные конфигурации (см. тезисы VI Советской гравитационной конференции) [2791.
