- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Однако на этом пути возникли трудности, которые были вызваны именно динамическим характером группы Пуанкаре. Динамические симметрии можно характеризовать как описывающие пространственное распределение и временную эволюцию системы и которые, реализуются дифференциальными операторами, действующими в функциональном пространстве. Волновые функции частиц дают пример реализации представления группы Пуанкаре в СТО как динамической группы с генераторами, выраженными дифференциальными операторами
Pv. - Зм , Lw - Cvb -L L^pv. (10'. 1)
Причем именно орбитальная часть Lorb генераторов группы Лоренца L приводит к выполнению коммутационных соотношений группы Пуанкаре как полупрямого произведения трансляций и группы Лоренца
\L\i\, Pa] = \L\iv , Po] — tIvcj^V — rIua^0v
В отличие от внутренних симметрий и лоренцевских преобразований спина, которые меняют волновую функцию в точке, преобразования группы Пуанкаре с дифференциальными генераторами (10.1) могут интерпретироваться, с одной стороны, как координатные преобразования, а с другой — как переходы от точки к точке. Обе эти интерпретации совпадают в плоском пространстве, но различаются в пространстве со связностью.
Авторы первых работ по калибровочной теории группы Пуанкаре [147, 36, 149] следовали координатной интерпретации операторов (10.1). Они объединяли локализации спиновых лоренцевских преобразований и преобразований координатных трансляций Jctt-K*"+а". При этом фактически рассматривалась не группа Пуанкаре, а прямое произведение группы Лоренца
57 L и группы трэнсляций Т.' Локализация лоренцевских спиновых преобразований приводит к стандартной схеме калибровочной теории группы Лоренца. Локализация координатных трансляций Xti-KV + C (х) воспроизводит группу общих координатных преобразований, которая индуцирует, в свою очередь, голономную подгруппу калибровочной группы GL(AtR)(X) преобразований атласа касательного расслоения, как это уже неоднократно обсуждалось. Генераторами таких согласованных преобразований координат и GL (4, R)-калибровочных преобразований являются производные Ли, а инвариантность лагранжиана материальных полей относительно этих преобразований, как и в модели Утиямы, является условием введения тетрадных полей. Последние тем самым не могут рассматриваться ни как имеющие какое-либо отношение к группе Пуанкаре, ни тем более как калибровочные поля этой группы.
Процедура локализации преобразований группы Пуанкаре, основанная на интерпретации генераторов (10.1) как переходов между точками была предложена Ф. Хелем и др. [150, 19]. Эта процедура не ограничивается локализацией групповых параметров, как обычно, а включает модификацию самих генераторов группы трансляций путем замены обычных производных в (10.1) на ковариантные
d^D^d-Ftlt (10.2)
где Гд = ГдаР/,ар — некоторая лоренцевская связность. Тогда локализация преобразований группы Пуанкаре
P = expKOM + (0^(LSb + LaP?)] принимает нетрадиционный вид
P (X) = exp [or»1 (X) Dtl + С0«Р (X) (C?b' + 1?)], (10.3)
где Lorb' получаются из Lorb подстановкой (10.2).
Замена (10.2) кажется вполне дгтественной как обобщение трансляций в плоском пространстве на трансляции в искривленном пространстве. Но в то же время она нарушает коммутационные соотношения группы Пуанкаре: например, генераторы трансляций перестают коммутировать
[D ці D4] — Ra^nvLaf,,
и преобразования (10.3) не образуют калибровочную группу трансляций в обычном смысле.
К тому же инвариантность лагранжиана материальных полей относительно преобразований вида (10.3) сводится на экстремалях к обычной инвариантности относительно лоренцевских спиновых преобразований и голономных преобразований из калибровочной группы GL(AtR), что мы уже наблюдали в предыдущих калибровочных моделях, и они ведут к тем же лоренцевским калибровочным полям и тетрадному полю.
58 Таким, образом, оказывается, что обе обсуждаемые калибровочные модели группы Пуанкаре лежат вне традиционной калибровочной схемы и не обеспечивают тетрадное гравитационное поле статусом калибровочного поля группы трансляций вопреки первоначальным декларациям. С нашей точки зрения, это является следствием общего положения, что применение калибровочной теории к динамическим группам не имеет смысла. Динамические симметрии характеризуют конкретную динамику системы, являющуюся следствием уже имеющегося в системе'взаимодействия, в том числе порождаемого теми или иными калибровочными полями. Например, группа Пуанкаре в теории поля — это группа динамических симметрий, как правило, свободных систем, когда взаимодействие в системе вообще отсутствует. В теории гравитации примером динамических групп служат группы движений.
Стандартная техника калибровочной теории может быть применена к локализации группы Пуанкаре, если на время забыть о ее роли как динамической группы и рассматривать ее как некоторую абстрактную структурную группу и группу голономии на расслоении [151, 139, 152—155].
Структурная группа Пуанкаре Р-расслоения (над пара-компактной базой) всегда редуцирована к группе Лоренца. Это является следствием того, что ассоциированной факторрасслое-ние kp/L, типичный слой которого — фактор-пространство P/L — гомеоморфен T=Ri, всегда допускает глобальное сечение а. В калибровочной теории пространственно-временных симметрий естественно предположить тогда, что рассматриваемое .расслоение ассоциировано с касательным расслоением T(Xi) над многообразием Xі. Таковыми являются главное расслоение AX аффинных реперов и аффинное карательное расслоение AT(Xi), которыми мы без потери общности в дальнейшим и ограничимся.
