- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Описывать классический спин частицы жидкости удобно с помощью методики, предложенной Тульчиевым [219]. Тензор энергии-импульса частицы разлагается по мультипольным моментам, каждый из которых характеризует степень отклонения частицы от пробной точечной
OO
Tap= j — у) + Vv— у)) + ...
—оо
• • • + izT11 Vv,..v„(^-Vna?64(^- </))}
Очевидно, что to0= —р(лг) — плотность жидкости. В выбранной нами системе отсчета
т**-«»«*. (13.3)
Кроме того, если потребовать, чтобы вектор спина
Se-VaeewL^ (13.4)
6* 83был связан с ортонормированной тетрадой соотношением
Sa=Pkct4(S), - (13.5)
то наиболее удобной и адекватной формой тензора спина будет следующая
S** = pk (OV1J О® - a(v2) a«). ; (13.6)
•
Введенный таким образом .вектор спина удовлетворяет условиям (13.2)-(13.5).
Наиболее удобным для описания физических теорий является лагранжев формализм. Можно прстроить лагранжиан и для спиновой идеальной жидкости. Однако, поскольку существует ряд законов, например сохранения тоїка жидкости, которые не могут быть выведены из полевого лагранжиана, мы введем их в полный лагранжиан в качестве связей.
Впервые лагранжев подход к описанию динамики спиновой жидкости был разработан Рэйем и Смолли в статье [220], которой мы будем следовать в дальнейшем изложении.
Лагранжиан спиновой жидкости обычно записывается в форме [218, 220]
U={-g)l<2{F(p, г, s)-7W, (13.7)
где /'(р, е, S)=—P (l-f-e(p)); р — плотность жидкости, є — внутренняя энергия малого объема жидкости, Tcn = Vttlliv/^— кинетическая энергия спинового движения частиц жидкости,
c0mv = .L ov(0 _ ^ Jv(o)f = „«.
Кроме того, следует дополнить лагранжиан (13.7) законами сохранения, которые вводятся феноменологически [214], а именно:
условием непрерывности линий тока жидкости (рма);а = 0, законом сохранения энтропии s,vav = 0, условием на вращение линий тока XvUv=0,
НОрМИрОВКОЙ Четырехвектора СКОРОСТИ WaUa=I,
условием ортонормированности векторов собственной систе-, мы отсчета ajj} = rIi/.
Тогда полный лагранжиан примет вид
Lm=(—g)l/2{F(p, е, S) +Xligll4U11Uv-I) +Я2(риа);а + + X3X,aW+XiS,aua—р^аО^+Х11 (g^>aW— -1)+^(^^^(2^-1)+2?,12^1^1^+
+ 2XI4?afia(I)a? + 2л2^а^и\ (13.8)
Независимыми вариационными переменными будут р, a^, щ, Xі, Kvfh за исключением a(3)a >и Я4, поскольку варьирование по. этим переменным приведет к уже известным тождествам U2-I и Я34 = 0.
84-Спиновая жидкость является источником гравитационного поля в- теории Эйнштейна—Картана [19]. Систему уравнений Эйнштейна—Картана получают.из лагранжиана
L = Q) + Lx. (13.10) 16яО
Выпишем только те из них, которые понадобятся нам в дальнейшем:
SSi^T-pka f + 2Хп aim -+ 2X12a(2)fi + 2IuUil - 0, (13.11) Ьа^: рка ^ + kpa^ + 2Х2\т + 2Х12а(т 2Ла4ид - 0, (13.12)
6QXMV: Q>Jv = 8nGuxs?v, (13.13)
. 1 би» : X1Uix — X2,мР + Kk их. + К*» + --— SnPa(,Vp o?(0 =
(13.14)
Варьируя (13.11) по бае(2), а (13.12) по получим следую-
щие выражения для неопределенных множителей Лагранжа:
Xli = р kafu^^^X11 = pka(maf!2 = Х2\ . X2i = — рkct^n, X12 = 0, к = const.
Сворачивая (13.11) с а (13.12) с и складывая,
получим уравнение движения спина частицы жидкости
0s^ + J^-UaUv + -^-Ua и» = 0, (13.15)
ds ds ds
которое совпадает с обобщенным уравнением Матиссона—Па-папетру [221, 222].
Это уравнение приводит к интересному эффекту прецессии спина вокруг направления вектора кручения, впервые предсказанному в работе [223]. Действительно, в пределе g(1v = T]llv, сворачивая (13.15) с получим
Ds* \ иаи\= 0, (13.16)
ds
которое при выполнении условия (13.1) в собственной системе отсчета и% = {\, 0, 0, 0}, ds = dt, будет
~ = [QXS], (13.17)
at
где s = {s23, Ssi, S12}, Q = {<Зь ?2, (?}.
Подчеркнем,- что этот эффект получен для пробной частицы CO СП'ИНОМ.
Варьирование полного лагранжиана по gvv и К
iiv приводит к уравнениям поля ТЭК [194], а именно:
R^ (g, Q)--(g, Q) - V« + Bailv + Bilv^ = 8ttG7Vv,
(13.18)
85-QxMV=SjtGslivUv,
(13.19)
где Smv определяется из (13.6), a Bavvi=Qavii+g^Q^—g^Q^.
С учетом второго закона термодинамики, после подстановки (13.19) в (13.18), мы получим уравнение Эйнштейна, в правой части которого будет стоять тензор энергии-импульса спиновой жидкости, имеющий вид
= UllUv (р + P- 2s2)-g?v (Р — S2), (13.20)
где S2=SwvS^v. Впервые это выражение было получено эвристическим путем Хелем [221] и Траутманом [222].
Рассмотренная нами модель спинойой жидкости имеет важное значение, для исследования космологических моделей со спином и кручением.
§ 14. космология С УЧЕТОМ СПИНА И КРУЧЕНИЯ
Проблема космологической сингулярности и начального состояния Вселенной является одной из центральных в современной астрофизике и вообще в теории гравитации. Вопрос о причинах появления сингулярности стоит давно, и сначала казалось, что сингулярность обусловлена выбором симметрии пространства-времени. Согласно современным представлениям наша Вселенная расширяется однородным и изотропным образом и с большой степенью вероятности описывается моделью Фридмана. Рядом авторов были предприняты попытки найти наиболее общее решение уравнений Эйнштейна, свободное от сингулярности [224—226]. Однако они оказались неудачными (теорию пульсирующего коллапса см. у М. Е. Гер-ценштейна [299]).