- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
полей в аффинно-метрической теории существуют две точки
зрения. Дело в том, что замена обычной производной на кова-г
риантную дц-э-уц приведет в данном случае к появлению в выражении для напряженности электромагнитного поля членов
75- взаимодействия
г г
Fnv = ViA — VvAu = <Mv — <5,Дл + 2QVA, (12.20)
нарушающих {/(1)-калибровочную инвариантность лагранжиана электромагнитного поля.
Поскольку принцип калибровочной инвариантности является одним из основных в теории поля, ряд авторов [195, 19, 196], желая сохранить его, предположили, что кручение не взаимодействует с калибровочными полями типа электромагнитного и янг-миллсовского и поэтому следует считать, что взаимодействие «кручение — вектор-потенциал» отсутствует. Это же еле-, дует из определения F11V= [<3ц—Г„—A11, <3v—Tv—Av] как тензора кривизны, в котором связность не действует на свои координатные индексы.
С другой стороны, имеет смысл обсудить возможность одновременной модификации принципа минимальности взаимодействия и принципа калибровочной инвариантности таким образом, чтобы в этой новой схеме сохранилась калибровочная инвариантность и Q—А-взаимодействие. Такая программа была реализована в работах [197—199]. В этом случае обычные калибровочные преобразования (1.2) вектор-потенциала заменяются на
/I11-KZI/ = Л,+ ехр (Ф (*)) Alll,
а тензор кручения и поле Ф связаны соотношением
Q\v = 6to.,x —?>.v. (12.21)
Кроме этого, в члене взаимодействия электромагнитного поля А, например, с заряженным скалярным полем, появляется дополнительный множитель
(¦d—iqA„) ф-> {d—iq ехр (—Ф (х)) A11) ср. (12.22).
Этот подход особенно интересен, поскольку в нем раскрывается еще один аспект природы кручения. Из (12.21) следует
с
Тогда "видно, что в заданном пространстве с кручением экспонента в формуле (12.22) будет представлять собой объект типа вильсоновской петли
с
При определенном выборе Q11 значение W[c] может быть конечным, и тогда, перенормировав заряд q->-q' — W[c]q, мы будем в состоянии оценить не только влияние кручения на электромагнитное взаимодействие, но и радиус, на Котором это влия-
;'76 ниё существенно и который, фактически, будет равен диаметру петли.
В обсуждаемом подходе электромагнитное поле взаимодействует с кручением, однако не является его источником. Оно становится источником поля кручения, если пожертвовать калибровочной инвариантностью [200].
Функционал действия, описывающий взаимодействие аф-финно-метрического гравитационного и электромагнитного полей, можно выбрать следующим:
S = Jd*x(-g) W {R (g, Q)--l- FllvF"J, (12.23)
где Fliv определяется формулой (12.20). Варьирование функционала (12.23) по независимым переменным приводит к системе уравнений
б: Rvv (g, Q) - -J g»vR (g, Q) = 8JiGTilv-г г г
Vli^ap + Va^PH 1- V?^Va — 2Q *[цгхр]>. = 0;
: QVv + ovQv - otoi = 8nGSxlv, где Tmv ~ FmFav - 4 gwFap Fap,
sVv=-- AvF/1
4я
— тензор спина электромагнитного поля.
Разрешим эту систему относительно тензора кручения
Q^11V = 26 VQ»] + 2 GA +AGA1-A {iiQv}, (12.24)
где
Qv=GPvaAa/2(l + GA2), Л2 = ЛИ", QH11 = O1 P^ = OtAa-OaAli.
Подставляя (12.24), получим систему, описывающую взаимодействие гравитационного поля с нелинейным векторным в рамках римановой геометрии
^Ag)--l-g»vR(g)=8nGTK™, (12.25)
(- ?)-1/2 "ТЕГ ((- gl/2 ^нел) = - GF^FZnА\ (12.26)
OX
9ПЛ "Р У А
F^ = Fvv+ т . (12-27)
TZf = -^(S)-WLmxt ' (12,28)
77- Z-нел = -j- F^tv Fnen + F^ F^ AaA^. (12.29)
Таким образом, исходная система уравнений в пространстве Ui может быть сведена к системе уравнений Эйнштейна и нелинейного векторного поля. Решения таких уравнений в пространстве Минковского изучались в работе [200] и в случае Am= {ф(Л о. 0,0,0} приводились к решению уравнения синус-Гордона для функции ф (г, t).
Спинорное поле.
Спинорные поля в Ui вводятся точно таким же образом, как и в римановой геометрии [201, 202].
Пусть в точке P^Ui определен ортогональный базис {ta} такой, что псевдориманова метрика gab = Цаь- В таком ортогональном базисе зададим спинор г|:(р) и у-матрицы Дирака
yayb + Y6ya = 2т]а&.
Определим другой, голономный, базис в точке pet/4. Переход от {ta} к осуществляется с помощью неголономных преобразований ta = HaHlit задаваемых тетрадными функциями Uav- (СМ. § 4).
Пусть р и р' — две точки, находящиеся на инфинитези-мальном расстоянии друг от друга в (У4. При параллельном переносе ортогонального базиса из р в р' вдоль некоторой линии тетрадные коэффициенты и заданное спинорное поле изменяются на величину
= dxvyX = dxv
def . Г
= a|/ [p) --1]) (p) = dx" Vv
где Vv—ковариантная производная от спинора. В том случае, если р'->р, эти приращения можно получить с помощью преобразований Лоренца с зависящими от координат коэффициентами
dhaa = dty =
Откуда сразу следует
d(i) ap = -—dx^Yaflv.
Поскольку \|/(p')—г);(р) =rfxa<?aij5 + oi)), где oi|) — приращение функции, не зависящее от преобразования координат, мы можем приравнять
oi|; = dcoal)aa^ = —^Ta?vCTaf!i);.
